UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Didas �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis I

Wintersemester 2008/2009

Blatt 11 Abgabe: Dienstag, 20.01.2009, vor der Vorlesung

Aufgabe 1 (5+5=10 Punkte)

(a) Sei (A, ∥ · ∥_{A}) eine Banachalgebra und I ⊂ A ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal in A. Zeigen Sie, dass A/I versehen mit der Quotientennorm ∥x+I∥ := inf_{y∈I} ∥x+y∥_{A}

eine Banachalgebra ist.

(b) Zeigen Sie, dass die Vervollständigung einer normierten Algebra A eine Banachalgebra ist, die A als Unteralgebra enthält.

Aufgabe 2 (5+5=10 Punkte)

(a) Zeigen Sie, dass der Banachraum L^{1}[0, 1] mit der Multiplikation

(f ∗ g)(x) := ∫_{0}^{x} f(y)g(x − y) dy, x ∈ [0, 1]

eine kommutative Banachalgebra ist.

(b) Sei 0 < α < 1. Zeigen Sie, dass

I_{α} := {f ∈ L^{1}[0, 1] ; f|_{[0,α]} ≡ 0 fast überall }

ein abgeschlossenes Ideal in L^{1}[0, 1] ist, welches aus nilpotenten Elementen besteht.

Aufgabe 3 (10 Punkte) Sei L^{1}[0, 1] die in Aufgabe 1 eingeführte Banachalgebra. Zeigen Sie, dass für alle f ∈ L^{1}[0, 1] schon r(f) = 0 ist.

Aufgabe 4 (4+2+4=10 Punkte) Sei A eine Banachalgebra mit Einselement über ℂ und seien a, b ∈ A.

(a) Zeigen Sie, dass gilt σ(ab) \ {0} = σ(ba) \ {0} und r(ab) = r(ba).

(b) Belegen Sie durch ein Beispiel, dass der Fall σ_{A}(ab) ≠ σ_{A}(ba) auftreten kann.

(c) Sei E ein endlichdimensionaler komplexer Banachraum. Zeigen Sie, dass für alle A, B ∈ L(E) gilt σ_{L(E)}(AB) = σ_{L(E)}(BA).

Bitte wenden!

Aufgabe 5* (5+3=8 Punkte) Seien E, F Banachräume und T ∈ K(E, F). Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(a) Ist T surjektiv, so ist dim F < ∞.

(b) Ist M ⊂ F ein abgeschlossener Teilraum mit M ⊂ Im T, so ist M endlichdimensional.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

         www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ws08 09/fa1/uebungen.html