UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Didas �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis I

Wintersemester 2008/2009

Blatt 12 Abgabe: Dienstag, 27.01.2009, vor der Vorlesung

Aufgabe 1 (3+4+3+3+3=16 Punkte) Sei R eine Banachalgebra mit Einselement 1 und sei A eine abgeschlossene Unteralgebra von R mit 1 ∈ A. Zeigen Sie, dass für alle x ∈ A gilt:

(a) σ_{R}(x) ⊂ σ_{A}(x).

(b) ∂σ_{A}(x) ⊂ ∂σ_{R}(x).

(c) Ist σ_{R}(x) ⊂ ℝ, so ist σ_{R}(x) = σ_{A}(x).

(d) Ist A eine maximale kommutative Unteralgebra von R, so ist σ_{R}(x) = σ_{A}(x).

(e) Belegen Sie durch ein Beispiel, dass der Fall σ_{R}(x) ≠ σ_{A}(x) auftreten kann.

Aufgabe 2 (5+5=10 Punkte)

(a) Sei H ein Hilbertraum mit ONB {e_{n}, n ∈ ℕ} und (α_{n})_{n∈ℕ} ∈ ℓ^{∞}(ℕ). Wir definieren zu k ∈ ℕ_{0} beliebig aber fest eine Abbildung T auf H folgendermaßen:

T ( ∑_{n=1}^{∞}⟨x, e_{n}⟩e_{n}) := ∑_{n=1}^{∞}⟨x, e_{n}⟩α_{n}e_{n+k} für alle x ∈ H.

Zeigen Sie, dass T nach H abbildet und stetig ist. Geben Sie ∥T ∥ an.

(b) Zeigen Sie, dass der in (a) definierte Operator genau dann kompakt ist, wenn (α_{n})_{n∈ℕ} eine Nullfolge ist.

Aufgabe 3 (5+5=10 Punkte) Sei T ein stetiger Operator auf einem separablen Hilbertraum H. Man nennt T einen Hilbert-Schmidt-Operator, wenn es eine ONB {e_{i}, i ∈ ℕ} von H gibt, so dass gilt

(1)  ∑_{i=1}^{∞} ∥T e_{i}∥^{2} < ∞.

(a) Zeigen Sie, dass Bedingung (1) für jede ONB erfüllt ist, wenn sie schon für eine ONB gilt und alle Summen der Form (1) denselben Wert haben (dessen Wurzel wir mit ∥T ∥_{HS} bezeichnen). Außerdem ist T Hilbert-Schmidt-Operator genau dann, wenn T^{∗} ein solcher ist.

Bitte wenden!

(b) Es gilt ∥T ∥ ≤ ∥T ∥_{HS}.

(Hinweis zu (a): Zeigen Sie für zwei ONBasen {e_{i}}, {f_{j}} von H, dass ∑_{i=1}^{∞} ∥T e_{i}∥^{2} = ∑_{j=1}^{∞} ∥T^{∗}f_{j}∥^{2} gilt.)

Aufgabe 4 (4 Punkte) Zeigen Sie, dass jeder Hilbert-Schmidt-Operator kompakt ist.

Aufgabe 5* (4 Punkte) Welche der Operatoren aus Aufgabe 2 sind Hilbert-Schmidt-Operatoren?

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

         www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ws08 09/fa1/uebungen.html