UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Didas �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis I

Wintersemester 2008/2009

Blatt 13 Abgabe: Dienstag, 03.02.2009, vor der Vorlesung

Aufgabe 1 (9 Punkte) Sei H ein Hilbertraum und T ∈ K(H) positiv und selbstadjungiert. Zeigen Sie, dass genau ein positiver selbstadjungierter Operator S ∈ K(H) existiert mit S^{2} = T. Man schreibt S = T^{1/2}.

Aufgabe 2 (4+4+4=12 Punkte) Sei T : H_{1} → H_{2} ein kompakter Operator zwischen zwei Hilberträumen.

(a) Zeigen Sie, dass T^{∗}T kompakt, selbstadjungiert und positiv ist. Der nach Aufgabe 1 daher eindeutig bestimmte Operator (T^{∗}T)^{1/2} wird mit |T | bezeichnet.

(b) Es gilt ∥|T |h∥ = ∥T h∥ für alle h ∈ H_{1}.

(c) Es existieren Operatoren U ∈ L(H_{1}, H_{2}) und P ∈ L(H_{1}) mit T = UP, so dass P kompakt und positiv ist und U|_{(ker U)^{⊥}} eine Isometrie. U ist durch die Forderung ker U = ker T eindeutig bestimmt.

Aufgabe 3 (5+5=10 Punkte) Seien (E, ∥ · ∥_{E}) und (F, ∥ · ∥_{F}) zwei Banachräume. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(a) Ist A ∈ F(E, F) so gibt es ein n ∈ ℕ und x′_{1}, …, x′_{n} ∈ E′, y_{1}, …, y_{n} ∈ F mit

Ax = ∑_{j=1}^{n} x′_{j}(x)y_{j} für alle x ∈ E.

(b) Ist A ∈ F(E, F), so ist A′ ∈ F(F′, E′).

Aufgabe 4 (9 Punkte) Seien E, F Banachräume und sei T ∈ L(E, F). Wir nennen S ∈ L(F, E) eine verallgemeinerte Inverse von T, falls T ST = T und ST S = S gilt. Zeigen Sie, dass jeder Fredholmoperator eine verallgemeinerte Inverse besitzt.

Aufgabe 5* (5 Punkte) Sei S ∈ L(F, E) verallgemeinerte Inverse von T ∈ Φ(E, F). Zeigen Sie, dass dann auch S ∈ Φ(F, E) ist und ausserdem ind S = − ind T gilt.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

         www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ws08 09/fa1/uebungen.html