UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis I

Wintersemester 2008/2009

Ferienübungsblatt Abgabe: Keine Abgabe

Aufgabe 1 Sei K eine Teilmenge eines 𝕂-Vektorraumes E. Wir definieren die absolut konvexe Hülle Γ(K) von K durch

Γ(K) = {∑_{i=1}^{n} α_{i}x_{i} : x_{1}, …, x_{n} ∈ K, α_{1}, …, α_{n} ∈ 𝕂 mit ∑_{i=1}^{n} |α_{i}| ≤ 1} .

Zeigen Sie, dass Γ(K) die kleinste absolut konvexe Menge in E ist, welche K enthält.

Aufgabe 2 Sei E ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum und seien A, B, M_{1}, …, M_{r} ⊂ E. Wir nennen A ⊂ E beschränkt, wenn für alle Nullumgebungen U in E ein δ > 0 existiert mit A ⊂ δU. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(a) Ist A beschränkt, so auch der Abschluss der absolut konvexen Hülle \overline{Γ(A)} von A.

(b) Ist A kompakt, so ist A beschränkt.

(c) Sind M_{1}, …, M_{r} absolutkonvex, so folgt

Γ(M_{1} ∪ ⋯ ∪ M_{r}) = \{∑_{i=1}^{n} α_{i}x_{i} : \begin{matrix}x_{i} ∈ M_{i} für i = 1, …, r und \\ α_{1}, …, α_{r} ∈ 𝕂 mit ∑_{i=1}^{r} |α_{i}| ≤ 1 \end{matrix} \} .

(d) Sind M_{1}, …, M_{r} absolutkonvex und kompakt, so ist Γ(M_{1} ∪ ⋯ ∪ M_{r}) kompakt.

Aufgabe 3 Zeigen Sie, dass es für alle z ∈ ℂ mit |z| = 1 unendlich viele paarweise verschiedene maximale Ideale I in der Banachalgebra C_{b}(𝔻) der stetigen und beschränkten Funktionen auf 𝔻 gibt mit

{f ∈ R; f̃(z) = 0} ⊂ I.

Hierbei sei R die abgeschlossene Unteralgebra aller auf 𝔻 beschränkten, stetigen Funktionen f, die eine stetige Fortsetzung f̃ auf \overline{𝔻} besitzen.

Bitte wenden!

Aufgabe 4 Sei ∅ ≠ G ⊂ ℂ offen, sei N := N (G) und sei

H^{∞}(G) := O(G) ∩ L^{∞}(G)

die Menge der beschränkten holomorphen Funktionen auf G. Zeigen Sie:

(a) Durch h ↦ h + N ist eine Einbettung von H^{∞}(G) in L^{∞}(G) gegeben mit

∥h + N ∥_{∞} = sup_{z∈G} |h(z)|.

Wir identifizieren H^{∞}(G) mit dem Bild dieser Einbettung.

(b) Mit der Identifikation aus (a) ist H^{∞}(G) eine abgeschlossene Unteralgebra von L^{∞}(G).

Aufgabe 5 Zeigen Sie, dass unter den Voraussetzungen und mit den Bezeichnungen von Aufgabe 4 gilt:

(a) Für alle z ∈ G ist

δ_{z} : H^{∞}(G) → ℂ, δ_{z}(h) := h(z)

ein σ(L^{∞}(G), L^{1}(G))-stetiges Funktional auf H^{∞}(G).

(b) H^{∞}(G) ist σ(L^{∞}(G), L^{1}(G))-abgeschlossen in L^{∞}(G).

Information:

• Um einen Leistungsnachweis zu erwerben, müssen Sie eine mündliche Prüfung ablegen. Zur Terminvereinbarung setzen Sie sich bitte mit Herrn Albrecht in Verbindung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

         www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ws08 09/fa1/uebungen.html