UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie 2 (WS 2008/09)

Blatt 1

Aufgabe 1. Zeigen Sie: Die durch

h(z) := \frac{z}{e^{z} − 1}

auf ℂ\2πiℤ definierte Funktion h ist in 0 holomorph durch h(0) = 1 ergänzbar und besitzt die in einer Umgebung von 0 konvergente Potenzreihendarstellung

h(z) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{B_{n}}{n!} z^{n}.

Hierbei ist (B_{n})_{n=0}^{∞} die Folge der Bernoullizahlen. Diese ist definiert durch B_{0} = 1, B_{1} = −\frac{1}{2} und die Rekursionsformel

∑_{k=0}^{n} \binom{n + 1}{k}B_{k} = 0 für alle n ∈ ℕ_{0}.

Geben Sie auch den Konvergenzradius der Potenzreihe an.

Aufgabe 2 (Frullani–Integrale 1). Seien a, b > 0 und sei f : [0, ∞) → ℝ eine stetige Funktion, für die das uneigentliche Riemann–Integral

∫_{1}^{∞} \frac{f(x)}{x}dx

existiert. Zeigen Sie:

(a) Das uneigentliche Riemann–Integral ∫_{0}^{∞} \frac{f(ax)−f(bx)}{x}dx existiert und es gilt

∫_{0}^{∞} \frac{f(ax) − f(bx)}{x}dx = f(0) log (\frac{b}{a}) .

Hinweis: Zeigen Sie zunächst

∫_{δ}^{∞} \frac{f(ax) − f(bx)}{x}dx = ∫_{δa}^{δb} \frac{f(x)}{x}dx für alle δ > 0.

(b) Für alle t > 0 gilt:

log(t) = ∫_{0}^{∞} \frac{e^{−x} − e^{−tx}}{x} dx = ∫_{0}^{∞} \frac{cos(x) − cos(tx)}{x}dx .

Aufgabe^{∗} 3 (Frullani–Integrale 2). Seien a, b > 0 und sei f : [0, ∞) → ℝ eine stetige Funktion, für die der Grenzwert f(∞) := lim_{x→∞} f(x) existiert.

(a) Zeigen Sie: Das uneigentliche Riemann–Integral ∫_{0}^{∞} \frac{f(ax)−f(bx)}{x}dx existiert und es gilt

∫_{0}^{∞} \frac{f(ax) − f(bx)}{x}dx = (f(0) − f(∞)) log (\frac{b}{a}) .

(b) Berechnen Sie die uneigentlichen Integrale

∫_{0}^{∞} \frac{arctan(ax) − arctan(bx)}{x} und ∫_{0}^{∞} \frac{tanh(ax) − tanh(bx)}{x}.

Abgabetermin: Montag, 03.11.2008, vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ws08 09/ft2/ft2-ueb.html

Informationen zum Erwerb eines Leistungsnachweises

Sie können zu dieser Vorlesung einen (benoteten) Leistungsnachweis erwerben. Die Voraussetzungen hierfür sind:

(a) erfolgreiche Teilnahme am Übungsbetrieb, d.h. • ernsthafte Bearbeitung von mindestens 60 % der gestellten Übungsaufgaben,

• mindestens 40 % aller erreichbaren Punkte,

• aktive Mitarbeit in der Übungsgruppe, und

(b) Bestehen der mündlichen Prüfung am Ende des Semesters.