UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie 2 (WS 2008/09)

Blatt 2

Aufgabe 1. Die durch

f(z) := \frac{1}{z^{2}} (\frac{z}{e^{z} − 1} + \frac{z}{2} − 1)

auf ℂ \ 2πiℤ definierte Funktion ist offensichtlich auf ℂ meromorph. Zeigen Sie:

(a) f ist eine gerade Funktion und in 0 holomorph durch f(0) := 1/12 ergänzbar.

(b) Für alle z ∈ G := ℂ \ {n2πi; 0 ≠ n ∈ ℤ} gilt

f(z) = 2 ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{z^{2} + 4π^{2}n^{2}} .

(c) f ist auf [0, ∞) monoton fallend mit lim_{t→∞} f(t) = 0.

(d) f besitzt in {z ∈ ℂ; |z| < 2π} die Potenzreihendarstellung

f(z) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{B_{n+2}}{(n + 2)!}z^{n} .

Hierbei ist (B_{n})_{n=0}^{∞} die Folge der Bernoullizahlen. Da f nach (a) eine gerade Funktion ist, folgt insbesondere B_{2k+1} = 0 für alle k ≥ 1 und somit

f(z) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{B_{2(n+1)}}{(2n + 2)!}z^{2n} .

Hinweis: Verwenden Sie

f(z) = \frac{1}{z^{2}} (\frac{z}{e^{z} − 1} + \frac{z}{2}) − \frac{1}{z^{2}} = \frac{1}{2z} (\frac{2}{e^{z} − 1} + 1) − \frac{1}{z^{2}} = \frac{1}{2z} coth (\frac{z}{2}) − \frac{1}{z^{2}}

und die aus der Funktionentheorie bekannte Mittag–Leffler–Entwicklung für die Kotangensfunktion.

Aufgabe 2. Zeigen Sie, daß für alle n ∈ ℕ gilt: n = 2^{n−1} ∏_{r=1}^{n−1} sin (\frac{r}{n}π).

Hinweis: Beachten Sie x^{n} − 1 = ∏_{r=1}^{n} (x − exp (i\frac{r}{n}2π)) und bilden Sie den Grenzwert lim_{x→1} \frac{x^{n}−1}{x−1}.

Aufgabe^{∗} 3. Zeigen Sie, daß für alle z ∈ ℂ mit Re(z) > −1 die folgende Formel gilt:

∫_{0}^{1} ( log (\frac{1}{u}))^{z}du = ∫_{0}^{∞} e^{−t}t^{z}dt .

Dies zeigt, daß diese beiden Eulerschen Integrale die gleiche Funktion darstellen (nämlich z ↦ z! = Γ(z + 1)).

Hinweis: Verwenden Sie die Variablensubstitution t = log(1/u).

Abgabetermin: Montag, 10.11.2008, vor der Vorlesung. Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ws08 09/ft2/ft2-ueb.html