UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie 2 (WS 2008/09)

Blatt 3

Aufgabe 1. Zeigen Sie:

(a) Für alle z ∈ ℂ \ (−ℕ_{0}) gilt Γ(\overline{z}) = \overline{Γ(z)}.

(b) Für alle t ∈ ℝ gilt

|Γ(\frac{1}{2} + it)| = \sqrt{\frac{π}{cosh(πt)}} .

Hinweis: Eulersche Reflexionsformel:

Aufgabe 2. Sei ℍ_{r} := {z ∈ ℂ; Re z > 0} die offene, rechte Halbebene. Die Beta–Funktion B : ℍ_{r} × ℍ_{r} → ℂ ist definiert durch

B(α, β) := ∫_{0}^{1}(1 − t)^{α−1}t^{β−1}dt (α, β ∈ ℍ_{r}).

Zeigen Sie, daß für alle α, β ∈ ℍ_{r} gilt:

(a) B(α, β) = \frac{Γ(α)Γ(β)}{Γ(α + β)}.

Hinweis: Führen Sie in dem Doppelintegral

Γ(α)Γ(β) = ∫_{0}^{∞} ∫_{0}^{∞} t^{α−1}s^{β−1}e^{−t−s}dt ds

die Variablensubstitution s = ur, t = (1 − r)u durch.

(b) B(α, β) = ∫_{0}^{∞} \frac{x^{α−1}}{(1 + x)^{α+β}} dx.

Aufgabe^{∗} 3. Verwenden Sie Aufgabe 1 und die Verdoppelungsformel von Legendre zum Beweis von

∀0 ≠ t ∈ ℝ :  |\frac{Γ(2it)}{Γ(it)}| = \frac{1}{2\sqrt{cosh(πt)}} .

Abgabetermin: Montag, 17.11.2008, vor der Vorlesung. Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ws08 09/ft2/ft2-ueb.html