UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie 2 (WS 2008/09)

Blatt 4

Aufgabe 1. Zeigen Sie, daß für alle z, w ∈ ℍ_{r} gilt

∫_{0}^{∞} e^{−wt}t^{z−1} dt = \frac{Γ(z)}{w^{z}} .

Hinweis: Für Im(w) = 0 folgt dies leicht mit einer geeigneten Variablensubstitution.

Aufgabe 2. Für alle z ∈ ℂ, n ∈ ℕ sei

\binom{z}{n} := \frac{z(z − 1) · . . . · (z − n − 1)}{n!} und \binom{z}{0} := 1 .

Zeigen Sie, dass für alle z ∈ ℂ \ ℕ_{0} gilt:

lim_{n→∞}(−1)^{n}Γ(−z)n^{z+1}\binom{z}{n} = 1 .

Hinweis: Zeigen Sie zunächst:

\binom{z}{n} = \frac{(−1)^{n}Γ(n − z)}{Γ(−z)Γ(n + 1)} .

Aufgabe^{∗} 3. Verwenden Sie die Eulersche Darstellung der Gammafunktion (Formel (1.23) der Vorlesung) und eine geeignete Variablensubstitution zur Berechnung von ∫_{0}^{∞} e^{−x^{2}}dx.

Abgabetermin: Montag, 24.11.2008, vor der Vorlesung. Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ws08 09/ft2/ft2-ueb.html