UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie 2 (WS 2008/09)

Blatt 6

Aufgabe 1. Sei (a_{n})_{n=1}^{∞} eine Folge positiver Zahlen. Für welche z ∈ ℂ konvergiert die Reihe ∑_{n=1} a_{n}^{−z} in den Fällen

(a) a_{n} = n^{2} für alle n ∈ ℕ,

(b) a_{n} = p_{n}, p_{n} die n-te Primzahl, n ∈ ℕ,

(c) a_{n} = c^{n} für alle n ∈ ℕ mit einer Konstanten c > 0?

Zeigen Sie, dass die vorstehenden Reihen im Inneren ihres Konvergenzbereiches holomorph sind.

Aufgabe 2. Für welche z ∈ ℂ existiert in den folgenden Beispielen die Laplace-Transformierte

F (z) := ∫_{0}^{∞} f(t)e^{−tz}dt?

(a) f(t) = t^{n} für alle t ∈ [0, ∞) und ein n ∈ ℕ.

(b) f(t) = \begin{cases}1 & für 0 ≤ t ≤ 1 \\ 0 & für t > 1 . \end{cases} .

Sind diese Laplace-Transformierten im Inneren ihres Existenzbereiches holomorph?

Aufgabe^{∗} 3. Die Fourier-Laplace-Transformierte einer auf ℝ Lebesgue-integrierbaren Funktion f ist definiert durch

f̂(z) := \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−∞}^{∞} f(t)e^{−itz}dt

für alle z ∈ ℂ für die dieses Integral existiert.

(a) Zeigen Sie, dass die Fourier-Laplace-Transformation einer integrierbaren Funktion, die außerhalb eines kompakten Intervalls identisch verschwindet eine ganze Funktion ist.

(b) Berechnen Sie die Fourier-Laplace-Transformierte der durch

f(t) := \begin{cases}1 & für |t| ≤ 1 \\ 0 & für |t| > 1 . \end{cases}

definierten Funktion.

Abgabetermin: Montag, 08.12.2008, vor der Vorlesung. Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ws08 09/ft2/ft2-ueb.html