UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie 2 (WS 2008/09)

Blatt 8

Aufgabe 1. Für alle n ∈ ℕ definieren wir

a_{n} := \begin{cases}\frac{1}{k} & falls n = p^{k} fur eine Primzahl p \\ 0 & sonst. \end{cases}

Zeigen Sie:

(a) Die Reihe ∑_{n=1}^{∞} a_{n}n^{−z} konvergiert auf ℍ_{1} kompakt und punktweise absolut gegen eine auf ℍ_{1} holomorphe Funktion L_{ζ}.

(b) Für alle z ∈ ℍ_{1} gilt ζ(z) = exp(L_{ζ}(z)).

Hinweis zu (b): Zeigen Sie zunächst

∀z ∈ ℍ_{1} : h(z) = ∑_{m=1}^{∞} ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k} p_{m}^{−z} = ∑_{m=1}^{∞} − log(1 − p_{m}^{−z}) .

Hierbei sei (p_{m})_{m=1}^{∞} die Folge der der Größe nach durchnumerierten Primzahlen und log der Hauptzweig der Logarithmusfunktion.

Aufgabe 2. Für x ≤ 2 definieren wir den Integrallogarithmus von x durch

Li(x) := ∫_{2}^{x} \frac{1}{log t} dt.

Zeigen Sie:

Li(x) = \frac{x}{log x}(1 + s(x)) mit s(x) = O(\frac{1}{log x}) für x → ∞.

Hinweis: Partielle Integration.

Aufgabe^{∗} 3. Zeigen Sie, dass für die logarithmische Ableitung der Zeta-Funktion in ℍ_{1} gilt

\frac{ζ′(z)}{ζ(z)} = − ∑_{n=1}^{∞} log(p_{n}) ∑_{k=1}^{∞} p_{n}^{−kz}

mit absoluter Konvergenz. Hierbei sei (p_{n})_{n=1}^{∞} die Folge der der Größe nach durchnumerierten Primzahlen.

Hinweis: Erinnern Sie sich an Lemma 1.7 der Vorlesung und die Produktdarstellung der Zeta-Funktion.

Abgabetermin: Montag, 05.01.2009, vor der Vorlesung. Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ws08 09/ft2/ft2-ueb.html

Wir wünschen Ihnen ein frohes Weihnachtsfest und alles Gute für 2009!

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