UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie 2 (WS 2008/09)

Blatt 9

Aufgabe 1. Zeigen Sie: Für alle z ∈ ℍ_{1} gilt mit

Λ_{n} : \begin{cases}log p & falls n = p^{k} für eine Primzahl p und ein k ∈ ℕ ist \\ 0 & sonst \end{cases}

für die logarithmische Ableitung der Zetafunktion:

\frac{ζ′(z)}{ζ(z)} = − ∑_{n=1}^{∞} Λ_{n}n^{−z}

Aufgabe 2. Sei −∞ ≤ a < b ≤ ∞ und sei f ∈ C^{1}(a, b) eine auf (a, b) absolut integrierbare, beschränkte Funktion, für die auch die Ableitung f′ absolut auf (a, b) integrierbar ist. Zeigen Sie: Für alle x > 0 ist auch die Funktion t ↦ f(t)x^{it} auf (a, b) absolut integrierbar und es gibt eine von Konstante C = C(f) > 0, so dass für alle x > 0 gilt

|∫_{a}^{b} f(t)x^{it} dt| ≤ \frac{C}{log x}.

Hinweis: Partielle Integration.

Aufgabe^{∗} 3. Für reelles x > 0 sei A(x) die Menge aller p^{n} von Primzahlpotenzen der Ordnung n ≥ 2, n ∈ ℕ, mit p^{n} ≤ x. Sei ferner N(x) die Anzahl der Elemente von A(x). Zeigen Sie: Es gibt eine Konstante C > 0 mit N(x) ≤ C\sqrt{x} für alle x > 0. Hinweis: Zeigen Sie hierzu:

(a) Für alle Primzahlpotenzen p^{n} ≤ x mit n ≥ 2 gilt n ≤ \frac{log x}{log 2}.

(b)

N(x) ≤ ∑_{2≤n≤ \frac{log x}{log 2}} \sqrt[n]{x} ≤ \sqrt{x} + ∑_{3≤n≤ \frac{log x}{log 2}} \sqrt[n]{x}.

Schätzen Sie anschließend geeignet ab.

Abgabetermin: Montag, 12.01.2009, vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ws08 09/ft2/ft2-ueb.html