UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Funktionentheorie 2 (WS 2008/09)

Blatt 11

Aufgabe 1. Zeigen Sie

\frac{1}{2πi} ∫_{2−i∞}^{2+i∞} \frac{x^{z}}{z^{2}} dz = \begin{cases}0 & falls 0 < x < 1 \\ log x & falls x ≥ 1. \end{cases}

Aufgabe 2. Zeigen Sie für die hypergeometrische Reihe F (a_{1}, …, a_{p}; b_{1}, …, b_{q}; z) mit a_{1}, …, a_{p} ∈ ℂ und b_{1}, …, b_{q} ∈ ℂ \ (−ℕ_{0}) gilt:

(a) Ist p ≤ q, so ist die Reihe für alle z ∈ ℂ absolut konvergent.

(b) Ist p = q + 1, so ist sie für alle z ∈ 𝔻 absolut konvergent.

(c) Ist p > q + 1 und a_{1}, …, a_{p} ∈ ℂ \ (−ℕ_{0}), so ist die Reihe für alle 0 ≠ z ∈ ℂ divergent.

Aufgabe^{∗} 3. Zeigen Sie für die hypergeometrische Reihe F (a_{1}, …, a_{q+1}; b_{1}, …, b_{q}; z) mit a_{1}, …, a_{p} ∈ ℂ und b_{1}, …, b_{q} ∈ ℂ \ (−ℕ_{0}) gilt:

(a) Ist

Re ( ∑_{j=1}^{q} b_{j} − ∑_{j=1}^{q+1} a_{j}) > 0 ,

so ist die Reihe für alle z ∈ 𝕋 konvergent.

(b) Ist

Re ( ∑_{j=1}^{q} b_{j} − ∑_{j=1}^{q+1} a_{j}) ≤ −1 ,

so ist die Reihe (im nicht abbrechenden Fall) für alle z ∈ 𝕋 divergent.

Abgabetermin: Montag, 26.01.2009, vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ws08 09/ft2/ft2-ueb.html