UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Lokale Methoden in der Spektraltheorie 1

(Wintersemester 2008/09)

Blatt 1

Aufgabe 1. Sei (B, ∥ · ∥) eine Banachalgebra mit Einselement 1. Zeigen Sie: Ist I ein echtes Links–, Rechts– oder zweiseitiges Ideal in B, so ist auch die Abschließung \overline{I} ein echtes Links– bzw. Rechts– bzw. zweiseitiges Ideal in B.

Aufgabe 2. Sei B eine C^{∗}–Algebra (nicht notwendig mit einem Einselement). Für alle a ∈ B definieren wir L(a) ∈ L(B) durch L(a)x := ax für alle x ∈ B. Die hierdurch definierte Abbildung L : B → L(B) (linksreguläre Darstellung von B genannt) ist offensichtlich ein Algebrenhomomorphismus. Wir definieren

B^{♯} := {L(a) + α1 ; a ∈ B, α ∈ ℂ}

und versehen B^{♯} mit der auf B^{♯} eingeschränkten Operatornorm von L(B). Zeigen Sie:

(a) L : B → B^{♯} ist ein isometrischer Monomorphismus.

(b) Besitzt B ein Einselement, so ist L ein isometrischer Isomorphismus.

(c) Besitzt B kein Einselement, so ist L(B) ein zweiseitiges Ideal in B^{♯} von der Kodimension 1.

Aufgabe^{∗} 3. Sei B eine C^{∗}–Algebra mit Einselement 1 und seien a, b ∈ B positive Elemente mit a ≤ b. Zeigen Sie:

(a) a ≤ ∥a∥1.

(b) ∥a∥ ≤ ∥b∥.

Hinweis: Verwenden Sie den aus der Funktionalanalysis bekannten Funktionalkalkül für normale (und damit insbesondere auch für positive) Elemente in C^{∗}–Algebren mit Einselement.

Abgabetermin: Freitag, 31.10.2008, vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ws08 09/spektral/spektral-ueb.html

Raumänderung: Am 31.10.08 findet die Vorlesung ausnahmsweise im Seminarraum 5, Gebäude E 2 4 statt.

Informationen zum Erwerb eines Leistungsnachweises

Sie können zu dieser Vorlesung einen (benoteten) Leistungsnachweis erwerben. Die Voraussetzungen hierfür sind:

(a) erfolgreiche Teilnahme am Übungsbetrieb, d.h. • ernsthafte Bearbeitung von mindestens 60 % der gestellten Übungsaufgaben,

• mindestens 40 % aller erreichbaren Punkte,

• aktive Mitarbeit in der Übungsgruppe, und

(b) Bestehen der mündlichen Prüfung am Ende des Semesters.