UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Lokale Methoden in der Spektraltheorie 1

(Wintersemester 2008/09)

Blatt 2

Aufgabe 1. Sei B eine C^{∗}–Algebra (nicht notwendig mit einem Einselement). Zeigen Sie:

(a) Für a ∈ B gilt a ≥ 0 genau dann, wenn es ein positives Element b ∈ B gibt mit b^{2} = a.

(b) Ist a ∈ B hermitesch, so gibt es positive Elemente u, v ∈ B mit uv = vu = 0 und a = u − v.

(c) Jedes Element von B ist Linearkombination von vier positiven Elementen von B.

Aufgabe 2. Sei B eine C^{∗}–Algebra und seien a, b ∈ B hermitesch mit a ≤ b. Zeigen Sie:

(a) Für alle x ∈ B gilt x^{∗}ax ≤ x^{∗}bx.

(b) Sind a, b invertierbar mit 0 ≤ a ≤ b, so gilt 0 ≤ b^{−1} ≤ a^{−1} in B^{♯}.

Hinweis: Verwenden Sie (a) und Aufgabe 1 (a).

Aufgabe^{∗} 3. Sei B eine C^{∗}–Algebra und seien a, b ∈ B hermitesch mit a ≤ b. Zeigen Sie:

Für alle α > 0 mit σ_{B^{♯}}(a) ∪ σ_{B^{♯}}(b) ⊆ I_{α} := (1/α, ∞) gilt (1 + αa)^{−1}a, (1 + αb)^{−1}b ∈ B und (1 + αa)^{−1}a ≤ (1 + αb)^{−1}b.

Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 2 (b) und die Darstellung

\frac{t}{1 + αt} = \frac{1}{α}(1 − \frac{1}{1 + αt}) , (t > 1/α).

Abgabetermin: Freitag, 07.11.2008, vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ws08 09/spektral/spektral-ueb.html