UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Lokale Methoden in der Spektraltheorie 1

(Wintersemester 2008/09)

Blatt 3

Aufgabe 1. Wir betrachten die Menge C := C([0, 1], M_{2}(ℂ)) aller auf [0, 1] stetigen Funktionen mit Werten in der Menge aller 2 × 2-Matrizen über ℂ. Versehen mit den punktweisen Operationen der Addition, der Multiplikation, der Multiplikation mit Skalaren und der durch die punktweise Adjungiertenbildung definierten Involution sowie der durch

∥A∥ := sup_{t∈[0,1]} ∥A(t)∥_{s} (A ∈ C([0, 1], M_{2}(ℂ)))

definierten Norm ist dies eine C^{∗}–Algebra. Hierbei sei ∥ · ∥_{s} die Operatornorm auf L(ℂ^{2}) bezüglich der euklidischen Norm auf ℂ^{2}.

(a) Zeigen Sie. dass ∥ · ∥ tatsächlich eine C^{∗}–Norm auf C([0, 1], M_{2}(ℂ)) ist.

(b) Berechnen Sie das Zentrum Z von C([0, 1], M_{2}(ℂ)).

(c) Geben Sie die Menge Δ(Z) aller nichtrivialen multiplikativen linearen Funktionale und die Menge Δ_{C}(Z) aller nichtrivialen C–erweiterbaren multiplikativen linearen Funktionale auf Z an.

Aufgabe 2. Sei C die C^{∗}–Algebra aus der vorhergehenden Aufgabe und sei B die Menge aller derjenigen Matrixfunktionen

A = (\begin{matrix}a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{matrix}) ∈ C ,

die den folgenden Bedingungen genügen:

a_{1,1}(0) = a_{2,2}(1) und a_{j,k}(0) = a_{j,k}(1) = 0 für alle j, k ∈ {1, 2} mit j ≠ k.

(a) Zeigen Sie, daß B eine abgeschlossene C^{∗}–Unteralgebra von C ist.

(b) Berechnen Sie alle multiplikativen linearen Funktionale von B.

(c) Berechnen Sie Z(B) sowie Δ(Z(B)) und Δ_{B}(Z(B)).

Aufgabe^{∗} 3. Seien C, Z und B wie in den beiden vorhergehenden Aufgaben. Berechnen Sie für alle φ ∈ Δ_{C}(Z) bzw. alle φ ∈ Δ_{B}(Z(B)) und alle A ∈ B die zu φ gehörige lokale Banachalgebra C_{φ} bzw. B_{φ} und das Spektrum von π_{φ}(A) in C_{φ} bzw. in B_{φ}.

Abgabetermin: Freitag, 14.11.2008, vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ws08 09/spektral/spektral-ueb.html