UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Lokale Methoden in der Spektraltheorie 1

(Wintersemester 2008/09)

Blatt 4

Aufgabe 1. Sei A eine C^{∗}–Algebra. Zeigen Sie: Ist J ein zweiseitiges Ideal und B eine C^{∗}–Unteralgebra von A, so ist B + J eine C^{∗}–Unteralgebra von A.

Hinweis: Zeigen Sie zunächst daß der allgemeine Fall der Aufgabenstellung sich zurückführen läßt auf den den Fall, daß A ein Einselement 1 besitzt und daß 1 ∈ B gilt. Verifizieren Sie in dieser Situation, daß B/(B ∩ J) in kanonischer Weise eine C^{∗}–Algebra ist und daß durch b + B ∩ J ↦ b + J ein ∗–Monomorphismus von B/(B ∩ J) nach A/J gegeben ist. Schließen Sie sodann auf die Abgeschlossenheit von B + J.

Aufgabe 2. Sei (B, ∥ · ∥) eine C^{∗}–Algebra mit Einselement 1 und sei S eine Teilmenge von S, so daß die von S in B algebraisch erzeugte Unteralgebra S_{0} von B dicht in B liegt. Mit com(S) bezeichnen wir das kleinste, abgeschlossene, zweiseitige Ideal in B das alle Kommutatoren

ab − ba , (a, b ∈ S)

von S enthält. Wir nennen com(S) das Kommutatorideal von S in B. Zeigen Sie:

(a) com(S) = com(S_{0}) = com(B).

(b) Die Quotientenalgebra B/ com(S) ist eine kommutative C^{∗}–Algebra.

Aufgabe^{∗} 3. Sei (X, ∥ · ∥) einer der Banachräume (C(𝕋), ∥ · ∥_{𝕋}), (L^{p}(𝕋), ∥ · ∥_{p}) mit 1 ≤ p < ∞. Für alle w ∈ 𝕋 definieren wir eine Abbildung T_{w} durch

(T_{w}f)(z) := f(z/w) = f(z\overline{w}) (f ∈ X, z ∈ 𝕋).

Zeigen Sie:

(a) Für alle w ∈ 𝕋 ist T_{w} eine lineare Isometrie von X auf sich.

(b) Für alle f ∈ X ist durch

F (w) := T_{w}f (w ∈ 𝕋)

eine auf 𝕋 stetige X–wertige Funktion gegeben.

Abgabetermin: Freitag, 21.11.2008, vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ws08 09/spektral/spektral-ueb.html