UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Lokale Methoden in der Spektraltheorie 1

(Wintersemester 2008/09)

Blatt 5

Aufgabe 1. Für alle z ∈ 𝔻 definieren wir

P (w) := Re (\frac{1 + z}{1 − z} ) .

Zeigen Sie:

(a) Für 0 ≤ r < 1 und t ∈ ℝ gilt

P (re^{it}) = 1 + 2 ∑_{n=1}^{∞} r^{n} cos(nt) = \frac{1 − r^{2}}{1 − 2r cos(t) + r^{2}} .

(b) Es ist P > 0 auf 𝔻 und ∫_{𝕋} P (rz) dm(z) = 1 für alle r ∈ [0, 1).

(c) Für alle δ ∈ (0, π) gilt mit S_{δ} := {e^{it}; t ∈ [−π, π], |t| ≥ δ}:

lim_{r→1^{−}} ∫_{S_{δ}} P (rz) dm(z) = 0.

Aufgabe 2. Sei (X, ∥ · ∥) ein Banachraum und F : 𝕋 → X eine auf 𝕋 stetige X–wertige Funktion. Zeigen Sie:

lim_{r→1^{−}} ∫_{𝕋} P (rz)F (z) dm(z) = F (1).

Abgabetermin: Freitag, 28.11.2008, vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ws08 09/spektral/spektral-ueb.html