UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Lokale Methoden in der Spektraltheorie 1

(Wintersemester 2008/09)

Blatt 6

Aufgabe 1. Zeigen Sie: Mit den Bezeichnungen der vorherigen Aufgaben gilt für alle f ∈ L^{1}(𝕋):

(a) Die durch

P (f, z) := ∫_{𝕋} P (z/ζ)f(ζ) dm(ζ) (z ∈ 𝔻)

definierte Funktion P (f, ·) ist auf 𝔻 harmonisch.

(b) Für alle r ∈ [0, 1), t ∈ [−π, π] gilt

P (f, re^{it}) = ∑_{n=−∞}^{∞} f̂_{n}r^{|n|}e^{int} .

Hierbei sei f̂_{n} der n-te Fourierkoeffizient von f für alle n ∈ ℤ.

(c) Für alle r ∈ [0, 1) ist P (f, r·) : z ↦ P (f, rz) in L^{1}(𝕋) und erfüllt

P (f, r·) = ∫_{𝕋} P (rζ)T_{ζ}f dm(ζ) .

Aufgabe 2. Sei (X, ∥ · ∥_{X}) einer der Banachräume (C(𝕋), ∥ · ∥_{𝕋}), (L^{p}(𝕋), ∥ · ∥_{p}) mit 1 ≤ p < ∞. Zeigen Sie, daß für alle f ∈ X die folgenden Aussagen gelten:

(a) Für alle r ∈ (0, 1] gilt ∥P (f, r·)∥_{X} ≤ ∥f∥_{X}.

(b) lim_{r→1^{−}} P (f, r·) = f in (X, ∥ · ∥).

(c) Ist die Funktion P (f, ·) auf 𝔻 reellwertig, so ist auch f reellwertig.

Aufgabe^{∗} 3. Zeigen Sie: Für alle f ∈ H^{p}(𝕋), 1 ≤ p ≤ ∞ ist die Funktion z ↦ P (f, z) auf 𝔻 holomorph und es gilt ∥P (f, r·)∥_{p} ≤ ∥f∥_{p}.

Abgabetermin: Freitag, 05.12.2008, vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ws08 09/spektral/spektral-ueb.html