UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Lokale Methoden in der Spektraltheorie 1

(Wintersemester 2008/09)

Blatt 7

Aufgabe 1 (Arithmetik innerer Funktionen). Mit Hilfe des Satzes von Beurling kann man Teilbarkeitseigenschaften innerer Funktionen studieren: Sind θ_{1}, θ_{2} zwei innere Funktionen auf 𝕋, so nennen wir θ_{1} einen Teiler von θ_{2} und schreiben θ_{1}|θ_{2}, falls eine innere Funktion θ_{0} existiert mit θ_{2} = θ_{0}θ_{1} m-fast überall auf 𝕋. Zeigen Sie:

(a) Sind θ_{1}, θ_{2} innere Funktionen auf 𝕋, so gilt:

θ_{1}|θ_{2} ⟺ θ_{1}H^{2}(𝕋) ⊆ θ_{2}H^{2}(𝕋).

(b) Zu je endlich vielen inneren Funktionen θ_{1}, …, θ_{n} auf 𝕋 gibt es ein kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) in der Menge der inneren Funktionen, d.h. eine innere Funktion θ_{0} mit θ_{j}|θ_{0} für j = 1, …, n und mit der Eigenschaft, daß θ_{0}|θ für alle inneren Funktionen θ mit θ_{j}|θ für j = 1, …, n gilt.

(c) Zu je endlich vielen inneren Funktionen θ_{1}, …, θ_{n} auf 𝕋 gibt es einen größten gemeinsamen Teiler (ggT) in der Menge der inneren Funktionen, d.h. eine innere Funktion θ_{0} mit θ_{0}|θ_{j} für j = 1, …, n und mit der Eigenschaft, daß θ|θ_{0} für alle inneren Funktionen θ mit θ|θ_{j} für j = 1, …, n gilt.

Hinweis zu (b) und (c) betrachten Sie die abgeschlossenen Unterräume

M_{Σ} := \overline{LH ( ⋃_{j=1}^{n} M_{θ_{j}}(H^{2}(𝕋)))}  und  M_{Δ} := ⋂_{j=1}^{n} M_{θ_{j}}(H^{2}(𝕋)) .

Aufgabe 2. Zeigen Sie, daß für alle a ∈ 𝕋 die Funktion

f_{a} : 𝕋 → ℂ, z ↦ exp ( − \frac{a + z}{a − z} )

eine innere Funktion ist.

Abgabetermin: Freitag, 12.12.2008, vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ws08 09/spektral/spektral-ueb.html