UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Lokale Methoden in der Spektraltheorie 1

(Wintersemester 2008/09)

Blatt 8/9

Aufgabe 1. Sei (E, ∥ · ∥) ein Banachraum, dessen Einheitskugel keine Extremalpunkte besitzt. Zeigen Sie, daß dann (E, ∥ · ∥) nicht isometrisch isomorph zum Dualraum eines Banachraumes sein kann.

Hinweis: Erinnern Sie sich an die Sätze von Banach-Alaoglu und Krein-Milman aus der Funktionalanalysis.

Aufgabe 2. Zeigen Sie mit Hilfe der vorhergehenden Aufgabe: Der Banachraum (L^{1}(𝕋), ∥ · ∥_{1}) ist nicht isometrisch isomorph zum Dualraum eines Banachraums.

Aufgabe^{∗} 3. Sei A(𝕋) := {f ∈ C(𝕋) ; f̂_{−n} = 0 für alle n ∈ ℕ}. Zeigen Sie:

(a) A(𝕋) ist eine abgeschlossene Unteralgebra von C(𝕋) und

A(𝕋) = \{f ∈ C(𝕋) ; ∃g ∈ C(\overline{𝔻}) ∩ O(𝔻) : f ≡ g|𝕋 \}.

(b) Berechnen Sie Δ_{C(𝕋)}(A(𝕋)).

Aufgabe 4. Sei h ∈ H^{1}(𝕋) keine m-Nullfunktion. Zeigen Sie:

m({z ∈ 𝕋; h(z) = 0}) = 0 .

Aufgabe 5. Zeigen Sie, dass die (Einschränkungen auf 𝕋 der) holomorphen Polynome dicht in H^{1}(𝕋) liegen.

Wir definieren H_{0}^{1}(𝕋) := e_{0}H^{1}(𝕋) = {f ∈ H^{1}(𝕋) ; f̂_{−n} = 0 für alle n ∈ ℕ_{0}} .

Aufgabe^{∗} 6. Zeigen Sie, daß die Abbildung u ↦ ψ_{u} mit

ψ_{u}(f + H_{0}^{1}(𝕋)) := ∫_{𝕋} f(z)u(z) dm(z) (f + H_{0}^{1}(𝕋) ∈ L^{1}(𝕋)/H_{0}^{1}(𝕋))

einen isometrischen Isomorphismus von H^{∞}(𝕋) auf den topologischen Dualraum von L^{1}(𝕋)/H_{0}^{1}(𝕋) definiert.

Abgabetermin:

(a) Für die Aufgaben 1-3 am Montag, 05.01.2009, bis 10 Uhr in den Briefkasten der Arbeitsgruppe Albrecht im Gebäude E2 4.

(b) Für die Aufgaben 4-6 am Freitag, den 09.01.2009 vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ws08 09/spektral/spektral-ueb.html

Wir wünschen Ihnen ein frohes Weihnachtsfest und alles Gute für 2009!

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