UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Lokale Methoden in der Spektraltheorie 1

(Wintersemester 2008/09)

Blatt 10

Aufgabe 1. Sei (ℜ, ∥ · ∥) eine C^{∗}–Algebra mit Einselement 1 und sei L : ℜ → ℂ ein stetiges lineares Funktional mit L(1) = 1 = ∥L∥. Zeigen Sie, dass L dann ein positives lineares Funktional ist, d.h., dass L(a) ≥ 0 für alle positiven Elemente aus ℜ gilt.

Hinweis: Sei 0 ≤ a ∈ ℜ und sei ℜ_{a} die von 1 und a erzeugte abgeschlossene Unteralgebra von ℜ. Wenden Sie den Rieszschen Darstellungssatz auf die zu ℜ_{a} isometrisch isomorphe Banachalgebra C(σ(a)) an und zeigen Sie, dass es ein positives Maß μ ∈ rca(σ(a)) gibt mit L(a) = ∫_{σ(a)} z dμ.

Aufgabe 2. Sei f ∈ L^{∞}(𝕋) reellwertig. Zeigen Sie, dass es dann eine invertierbare Funktion u ∈ H^{∞}(𝕋) gibt mit |u| = e^{f} m-fast überall auf 𝕋.

Aufgabe^{∗} 3. Sei ϕ ∈ Δ(H^{∞}(𝕋)) und seien L_{1} und L_{2} zwei positive lineare Funktionale auf L^{∞}(𝕋), die auf H^{∞}(𝕋) mit ϕ übereinstimmen. Zeigen Sie, dass dann schon L_{1} = L_{2} gilt.

Hinweis: Ist f eine beliebige reellwertige Funktion aus L^{∞}(𝕋) und u zu f gemäß Aufgabe 2 gewählt, so zeige man zunächst

|ϕ(u)| ≤ L_{1}(e^{f}) und |ϕ(1/u)| ≤ L_{2}(e^{−f}).

Zeigen Sie nun, dass die Funktion ψ : t ↦ ψ(t) := L_{1}(e^{tf})L_{2}(e^{−tf}) auf ℝ stetig differenzierbar ist und in t = 0 ihr Minimum annimmt. Berechnen Sie ψ′(0).

Abgabetermin: Freitag, den 16.01.2009 vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ws08 09/spektral/spektral-ueb.html