UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Lokale Methoden in der Spektraltheorie 1

(Wintersemester 2008/09)

Blatt 11

Aufgabe 1. Seien u ∈ H^{∞}(𝕋) und w ∈ 𝔻 mit E_{z}(u) = 0. Zeigen Sie: Die Funktion v mit

v(ζ) := \frac{\overline{ζ}u(ζ)}{1 − w\overline{ζ}} (ζ ∈ 𝕋)

liegt in H^{∞}(𝕋) und erfüllt (e_{1} − w)v = u.

Aufgabe 2. Sei K ein kompakter Hausdorffraum und sei 𝔄 eine abgeschlossene Unteralgebra von C(K), die die Konstanten enthält. Sei weiter S eine multiplikative Halbgruppe von Funktionen aus 𝔄 mit |u| ≡ 1 für alle u ∈ S und mit 1 ∈ S. Zeigen Sie:

(a) Die Abschließung 𝔄(S) von \{f\overline{u}; u ∈ S, f ∈ 𝔄\} ist eine Banachalgebra.

(b) Sind ϕ_{1}, ϕ_{2} ∈ Δ(𝔄(S)) mit ϕ_{1}(f) = ϕ_{2}(f) für alle f ∈ 𝔄, so gilt schon ϕ_{1} = ϕ_{2}.

(c) Durch ϕ ↦ ρ(ϕ) := ϕ|_{𝔄} wird eine stetige Einbettung von Δ(𝔄(S)) in Δ(𝔄) gegeben.

(d) ρ(Δ(𝔄(S))) = {φ ∈ Δ(𝔄) ; |φ(u)| = 1 für alle u ∈ S}.

Aufgabe^{∗} 3. Zeigen Sie:

(a) Δ(L^{∞}(𝕋)) ist kanonisch homöomorph zu

Δ_{L^{∞}} := {ϕ ∈ Δ(H^{∞}(𝕋)) ; |ϕ(u)| = 1 für alle inneren Funktionen u}.

(b) Δ(H^{∞}(𝕋) + C(𝕋)) ist kanonisch homöomorph zu

Δ_{e} := {ϕ ∈ Δ(H^{∞}(𝕋)) ; |ϕ(e_{1})| = 1}.

Abgabetermin: Freitag, den 23.01.2009 vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ws08 09/spektral/spektral-ueb.html