UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Lokale Methoden in der Spektraltheorie 1

(Wintersemester 2008/09)

Blatt 12

Aufgabe 1. Sei A ∈ L(H), H ein Hilbertraum. Zeigen Sie: Gibt es Konstanten c, c_{∗} ∈ (0, ∞) so daß für alle x ∈ H gilt: ∥Ax∥ ≥ c∥x∥ und ∥A^{∗}x∥ ≥ c_{∗}∥x∥, so ist A in L(H) invertierbar.

Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass für nicht konstante Funktionen u ∈ L^{∞}(𝕋, ℝ) der Toeplitzoperator T_{u} keine Eigenwerte besitzt.

Aufgabe^{∗} 3. Für a ∈ M_{N}(L^{∞}(𝕋)), a = (a_{j,k})_{j,k=1,...,N} definieren wir den Multiplikationsoperator M_{a} ∈ L(L^{2}(𝕋, ℂ^{N})) durch

(M_{a}f)(z) := a(z)f(z) für alle f ∈ L^{2}(ℂ^{N}), z ∈ 𝕋.

Wie sieht das Spektrum von M_{a} in Abhängigkeit von a aus?

Abgabetermin: Freitag, den 30.01.2009 vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ws08 09/spektral/spektral-ueb.html