Lokale Methoden in der Spektraltheorie 1

Ernst Albrecht

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Vorlesung im Wintersemester 2008/09

Universität des Saarlandes

Saarbrücken

Stand: 16. Januar 2009

Inhaltsverzeichnis

Kapitel 1. Das lokale Prinzip von Graham Allan 3 1.1. Hilfsmittel aus der Theorie der Banachalgebren 3 1.2. Lokalisierungen über Unteralgebren des Zentrums 6 Übungsaufgaben zu Kapitel 1 10

Kapitel 2. Das lokale Prinzip für C^{∗}–Algebren 11 2.1. Hilfsmittel aus der Theorie der C^{∗}–Algebren 11 2.2. Die Douglasvariante des lokalen Prinzips 16 Übungsaufgaben zu Kapitel 2 17

Kapitel 3. Hardy–Räume auf 𝕋 19 3.1. Definition und erste Eigenschaften 19 3.2. Der Satz von Beurling 21 3.3. Eigenschaften von H^{∞}(𝕋) als Banachalgebra 27 3.4. Äußere Funktionen 29 3.5. Dualitätsaussagen 34 3.6. Douglas-Algebren 36 Übungsaufgaben zu Kapitel 3 39

Kapitel 4. Toeplitzoperatoren auf H^{2}(𝕋) 43 4.1. Elementare Eigenschaften von Toeplitzoperatoren auf H^{2}(𝕋) 44 4.2. Die Toeplitz–Algebra T (L^{∞}(𝕋)) 47 4.3. Zusammenhang des wesentlichen Spektrums 52 Übungsaufgaben zu Kapitel 4 57

Literaturverzeichnis 58

Index 60

KAPITEL 1 Das lokale Prinzip von Graham Allan

In den Jahren 1965-1973 wurden von verschiedenen Autoren lokale Prinzipien entwickelt, die sich in den unterschiedlichsten Bereichen der Funktionalanalysis als außerordentlich nützlich erwiesen haben:

• Simonenko [41, 42, 43] sowie Gohberg und Krupnik [25, 26, 27, 28] (im Bereich der singulären Integraloperatoren),

• Douglas [17, 18] sowie Böttcher und Silbermann [9, 10] (im Bereich der Toeplitzoperatoren),

• Allan [6] (Algebren Banachalgebra–wertiger Funktionen),

• Dauns und Hoffmann [14] (im Bereich der C^{∗}–Algebren,

• Silbermann und seine Schule [29] (Näherungsverfahren). Ich möchte hier den recht allgemeinen und eleganten Zugang von Graham Allan vorstellen. Bei diesem lokalen Prinzip versucht man, eine gegebene, im Allgemeinen nicht kommutative Banachalgebra B als Algebra von Funktionen mit variablem Wertebereich über dem Raum der multiplikativen linearen Funktionale einer Unteralgebra des Zentrums von B darzustellen.

1.1. Hilfsmittel aus der Theorie der Banachalgebren

Im folgenden sei also stets (B, ∥·∥) eine Banachalgebra über ℂ mit Einselement 1. Die Menge

Z(B) := {x ∈ B; ax = xa für alle a ∈ B}

heißt das Zentrum von B. Dies ist eine abgeschlossene, kommutative Unteralgebra von B mit 1 ∈ Z(B). Für die Elemente von Z(B) gilt:

Satz 1.1. Sei z ∈ Z(B) und sei M ein maximales Links–, Rechts– oder zweiseitiges Ideal in B. Dann gibt es ein λ ∈ ℂ mit λ − z := λ · 1 − z ∈ M.

Beweis. Wir führen den Beweis nur für den Fall maximaler Linksideale. Die beiden anderen Fälle behandelt man analog. Sei π : B → B/M, x ↦ x + M der kanonische Epimorphismus von B auf B/M.

(a) Für w ∈ Z(B) \ M ist die Menge

K_{w} := {x ∈ B; xw ∈ M}

ein wegen 1 ∉ M echtes Linksideal in B mit M ⊆ K_{w}, da für alle m ∈ M gilt mw = wm ∈ M (wegen w ∈ Z(B)). Aus der Maximalität von M folgt K_{w} = M. Wegen w ∉ M und der Maximalität von M gilt

1 ∈ B = Bw + M .

Es gibt daher ein u ∈ B mit uw −1 ∈ M. Ist v ∈ B ein weiteres Element mit vw −1 ∈ M, so folgt (u − v)w ∈ M und somit u − v ∈ K_{w} = M. Damit ist gezeigt: Es gibt genau ein Element η ∈ B/M mit vw − 1 ∈ M für alle v ∈ η.

(b) Sei nun z ∈ Z(B) beliebig. Für alle λ ∈ ℂ ist dann auch w(λ) := λ−z ein Element von Z(B). Wir führen den Beweis des Satzes indirekt und machen die Annahme: w(λ) ∉ M für alle λ ∈ ℂ. Wegen (a) gibt es zu jedem λ ∈ ℂ genau ein η(λ) ∈ B/M mit u(λ)w(λ) − 1 ∈ M für

alle u(λ) ∈ η(λ). Wir zeigen, daß die Funktion λ ↦ η(λ) eine ganze Funktion mit Werten in dem mit der Quotientennorm versehenen Banachraum B/M ist. Sei hierzu λ_{0} ∈ ℂ und u_{0} ∈ η(λ_{0}) beliebig. Insbesondere ist m_{0} := u_{0}w(λ_{0}) − 1 ∈ M und u_{0} ≠ 0. Für alle

λ ∈ U(λ_{0}) := {μ ∈ ℂ; |μ − λ_{0}| < ∥u_{0}∥^{−1}}

ist dann 1 + (λ − λ_{0})u_{0} in B invertierbar und

(1 + (λ − λ_{0})u_{0})^{−1} = ∑_{n=0}^{∞}(λ_{0} − λ)^{n}u_{0}^{n} .

Es folgt für alle λ ∈ U(λ):

u_{0} (1 + (λ − λ_{0})u_{0})^{−1} w(λ) = ∑_{n=0}^{∞}(λ_{0} − λ)^{n}u_{0}^{n+1}(λ − λ_{0} + w(λ_{0}))

= − ∑_{n=1}^{∞}(λ_{0} − λ)^{n}u_{0}^{n} + ∑_{n=0}^{∞}(λ_{0} − λ)^{n}u_{0}^{n}(1 + m_{0})

= 1 + ∑_{n=0}^{∞}(λ_{0} − λ)^{n}u_{0}^{n}m_{0} .

und hieraus wegen der Eindeutigkeitsaussage in (a): η(λ) = π (u_{0} (1 + (λ − λ_{0})u_{0})^{−1}). Da λ ↦ (1 + (λ − λ_{0})u_{0})^{−1} auf U(λ_{0}) holomorph ist, ist auch die B/M–wertige Funktion λ ↦ η(λ) = π (u_{0} (1 + (λ − λ_{0})u_{0})^{−1}) auf U(λ_{0}) holomorph. Da dies für alle λ_{0} ∈ ℂ gilt, ist η eine ganze B/M–wertige Funktion.

Für |λ| > ∥z∥ existiert w(λ)^{−1} = (λ − z)^{−1} in B und mit (a) folgt π(w(λ)^{−1}) = η(λ) und somit ∥η(λ)∥_{B/M} ≤ ∥w(λ)^{−1}∥ → 0 für |λ| → ∞. Nach dem Satz von Liouville ist also η(λ) = 0 für alle λ ∈ ℂ. Insbesondere folgt für alle u(λ) ∈ η(λ), daß u(λ) ∈ M gilt und somit wegen u(λ)w(λ) − 1 ∈ M auch 1 ∈ M im Widerspruch dazu, daß M ein echtes Ideal in B ist. □

Folgerung 1.2. Sei Z eine Unteralgebra des Zentrums Z(B) von B, welche das Einselement 1 von B enthält. Ist M ein maximales Links–, Rechts– oder zweiseitiges Ideal in B, so ist M ∩ Z ein maximales Ideal in Z.

Beweis. Daß M∩Z ein echtes Ideal in Z ist, ist unmittelbar klar. Sei nun z ∈ Z \M beliebig. Nach Satz 1.1 gibt es ein λ ∈ ℂ mit m := λ − z ∈ M. Wegen z ∉ M ist λ ≠ 0 und es folgt: 1 = \frac{1}{λ}(m + z) liegt in dem von M ∩ Z und z erzeugten Ideal von Z. Es gibt daher kein echtes Ideal in Z welches M ∩ Z als echte Teilmenge enthält. Dies zeigt die Maximalität von M ∩ Z. □

Wir wollen nun von folgender Situation ausgehen:

(B, ∥ · ∥) ist eine Banachalgebra mit Einselement 1
(Z, ∥ · ∥_{Z}) ist eine in Z(B) enthaltene Unteralgebra mit 1 ∈ Z ,

welche bezüglich der Norm ∥ · ∥_{Z} eine Banachalgebra ist.

(1.1)

Man beachte, daß die Norm ∥ · ∥_{Z} in keiner Beziehung zu der von ∥ · ∥ induzierten Norm stehen muß. Den Raum Δ(Z) der (nicht-trivialen) multiplikativen, linearen Funktionale ist bekanntlich bezüglich der von der Topologie σ(Z′, Z) induzierten Topologie ein kompakter Hausdorffraum.

Definition 1.3. Ein multiplikatives, lineares Funktional φ ∈ Δ(Z) heiße B–erweiterbar, falls das maximale Ideal ker φ von Z in einem echten Ideal von B enthalten ist. Die Menge aller B–erweiterbaren multiplikativen Funktionale φ ∈ Δ(Z) bezeichnen wir mit Δ_{B}(Z).

Ist φ ∈ Δ(Z), so ist wegen ker φ ⊂ Z ⊆ Z(B) das von ker φ in (B, ∥ · ∥) erzeugte (Links– oder Rechts–) Ideal

I_{0}(φ) := { ∑_{j=1}^{n} b_{j}z_{j}; n ∈ ℕ, b_{1}, …, b_{n} ∈ B, z_{1}, …, z_{n} ∈ ker φ}

schon ein zweiseitiges Ideal. Die Abschließung I(φ) von I_{0}(φ) ist dann das kleinste, bezüglich ∥ · ∥ abgeschlossene (Rechts– bzw. Links– bzw. zweiseitige) Ideal in B, welches ker φ enthält. Mit Aufgabe 1.1 sieht man:

Lemma 1.4. φ ∈ Δ(Z) ist genau dann B–erweiterbar, wenn I(φ) ≠ B gilt.

Lemma 1.5. Die Menge Δ_{B}(Z) aller B–erweiterbaren multiplikativen Funktionale φ ∈ Δ(Z) ist abgeschlossen in Δ(Z).

Beweis. Wir zeigen, daß Δ(Z) \ Δ_{B}(Z) offen in Δ(Z) ist. Sei also φ_{0} ∈ Δ(Z) \ Δ_{B}(Z) beliebig. Dann enthält das von ker φ_{0} in B algebraisch erzeugte Ideal I_{0}(φ_{0}) das Einselement 1. Es gibt also endlich viele b_{1}, …, b_{n} ∈ B, z_{1}, …, z_{n} ∈ ker φ_{0} mit

∑_{j=1}^{n} b_{j}z_{j} = 1.

Die Menge

U_{0} := {φ ∈ Δ(Z) ; |φ(z_{j})| = |φ(z_{j}) − φ_{0}(z_{j})| < ( ∑_{k=1}^{n} ∥b_{k}∥)^{−1} für j = 1, …, n}

ist dann eine in Δ(Z) offene Umgebung von φ_{0}. Sei φ ∈ U_{0} beliebig. Dann liegt z_{j} −φ(z_{j})1 im Kern von φ für j = 1, …, n und es folgt

x := 1 − ∑_{j=1}^{n} φ(z_{j})b_{j} = ∑_{j=1}^{n} b_{j}(z_{j} − φ(z_{j})) ∈ I_{0}(φ) .

Wegen

∥x − 1∥ = ∥ ∑_{j=1}^{n} φ(z_{j})b_{j}∥ ≤ ∑_{j=1}^{n} ∥b_{j}∥ · |φ(z_{j})| < 1

ist x in B invertierbar und somit 1 = x^{−1}x ∈ I_{0}(φ). φ ist also für kein φ ∈ U_{0} Berweiterbar und es folgt U_{0} ⊆ Δ(Z) \ Δ_{B}(Z). Damit ist gezeigt, daß Δ(Z) \ Δ_{B}(Z) offen ist. □

Mit Lemma 1.5 und Folgerung 1.2 erhalten wir:

Folgerung 1.6. Versehen mit der von Δ(Z) induzierten Relativtopologie ist Δ_{B}(Z) ein kompakter, nicht leerer Hausdorffraum.

1.2. Lokalisierungen über Unteralgebren des Zentrums

In der Situation (1.1) nennen wir für φ ∈ Δ_{B}(Z) die durch

B_{φ} := B/I(φ)

gegebene Quotientenalgebra die zu φ gehörige lokale Banachalgebra. Versehen mit der Quotientennorm ∥ · ∥_{φ} ist B_{φ} eine Banachalgebra mit Einselement 1_{φ} := 1 + I(φ). Den kanonischen Epimorphismus von B auf B_{φ} = B/I(φ) bezeichnen wir mit π_{φ}. Für alle x ∈ B und alle φ ∈ Δ_{B}(Z) definieren wir

x̂(φ) := π_{φ}(x) .

In diesem Sinn operieren die Elemente von B als Funktionen auf Δ_{B}(Z) mit variablem Bildbereich. Für x ∈ B schreiben wir

x̂ := (x̂(φ))_{φ∈Δ_{B}(Z)}

und definieren

Γ_{Z}(B) := {(x̂(φ))_{φ∈Δ_{B}(Z)} ; x ∈ B} ⊆ ∏_{φ∈Δ_{B}(Z)} B_{φ}.

Im Fall B = Z ist dies gerade die Menge der Gelfandtransformierten von Z und damit eine Unteralgebra von C(Δ_{Z}(Z)) = C(Δ(Z)). Versehen mit der durch

∥x̂∥_{Γ} := sup_{φ∈Δ_{B}(Z)} ∥x̂(φ)∥_{φ} (x ∈ B)

gegebenen Norm wird Γ_{Z}(B) zu einer normierten Algebra mit Einselement ˆ1.

Satz 1.7. In der Situation (1.1) gilt:

(a) Γ_{Z} : B → Γ_{Z}(B), x ↦ Γ_{Z}(x) := x̂ ist ein stetiger unitaler Homomorphismus von B auf Γ_{Z}(B) mit ∥Γ_{Z}∥ = 1.

(b) Für alle x ∈ B ist die Funktion

N_{x} : Δ_{B}(Z) → ℝ , φ ↦ N_{x}(φ) := ∥x̂(φ)∥_{φ} ,

oberhalb halbstetig auf Δ_{B}(Z).

(c) Ist J ein echtes (Links–, Rechts– oder zweiseitiges) Ideal in B, so gibt es ein φ ∈ Δ_{B}(Z), so daß π_{φ}(J) = {x̂(φ) ; x ∈ J } ein echtes (Links– bzw. Rechts– bzw. zweiseitiges) Ideal in Γ_{Z}(B) ist.

Beweis. (a) rechnet man unmittelbar nach. Die Stetigkeit ergibt sich wegen ∥x̂∥_{Γ} = sup_{φ∈Δ_{B}(Z)} ∥π_{φ}(x)∥_{φ} ≤ ∥x∥ für alle x ∈ B. Wegen ∥ˆ1∥_{Γ} = 1 = ∥1∥ folgt ∥Γ_{Z}∥ = 1.

(b) Sei x ∈ B beliebig. Wir müssen zeigen, daß es zu jedem φ_{0} ∈ Δ_{B}(Z) und jedem ε > 0 eine Umgebung U von φ_{0} in Δ_{B}(Z) gibt mit

∀φ ∈ U : N_{x}(φ) < N_{x}(φ_{0}) + ε.

Seien also φ_{0} ∈ Δ_{B}(Z) und ε > 0 beliebig. Aus der Definition von I(φ) und der Quotientennorm folgt für alle φ ∈ Δ_{B}(Z):

N_{x}(φ) = inf {∥x + ∑_{j=1}^{n} b_{j}z_{j}∥; n ∈ ℕ, b_{1}, …, b_{n} ∈ B, z_{1}, …, z_{n} ∈ ker φ} .  (1.2)

Daher gibt es ein n ∈ ℕ, b_{1}, …, b_{n} ∈ B und z_{1}, …, z_{n} ∈ ker φ_{0} mit

N_{x}(φ_{0}) ≤ ∥x + ∑_{j=1}^{n} b_{j}z_{j}∥ < N_{x}(φ_{0}) + \frac{ε}{2} .

Die durch

U := \{φ ∈ Δ_{B}(Z) ; |φ(z_{j})| < \frac{ε}{2 ∑_{j=1}^{n} ∥b_{j}∥ + 1} für j = 1, …, n\}

definierte Menge U ist eine offene Umgebung von φ_{0} in Δ_{B}(Z). Für alle φ ∈ U erhalten wir wegen (1.2) und z_{j} − φ(z_{j})1 ∈ ker φ:

N_{x}(φ) − N_{x}(φ_{0}) ≤ ∥x + ∑_{j=1}^{n} b_{j}(z_{j} − φ(z_{j}))∥ − ∥x + ∑_{j=1}^{n} b_{j}z_{j}∥ + \frac{ε}{2}

≤ ∥x + ∑_{j=1}^{n} b_{j}z_{j}∥ + ∑_{j=1}^{n} ∥b_{j}∥ · |φ(z_{j})| − ∥x + ∑_{j=1}^{n} b_{j}z_{j}∥ + \frac{ε}{2}

< \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε .

Damit ist (b) bewiesen.

(c) Wir führen den Beweis nur für Linksideale. Der Beweis für Rechtsideale und für zweiseitige Ideale verläuft analog.

Ist J ein echtes Linksideal in B, so gibt es ein maximales Linksideal L in B mit J ⊆ L. Dann ist L ∩ Z nach Folgerung 1.2 ein maximales Ideal in Z. Es gibt also ein φ ∈ Δ(Z) mit ker φ = L ∩ Z ⊆ L. Insbesondere ist φ ∈ Δ_{B}(Z). Wäre π_{φ}(L) kein echtes Linksideal in B_{φ}, so gäbe es ein y ∈ L mit π_{φ}(y) = 1_{φ}, d.h. mit 1 − y ∈ I(φ) ⊆ L. Hieraus folgt aber 1 ∈ L im Widerspruch dazu, daß L ein echtes Ideal ist. Daher muß π_{φ}(L) und somit auch π_{φ}(J) ein echtes Ideal in B_{φ} sein. □

Folgerung 1.8. In der Situation von (1.1) sei J ein maximales Links– bzw. Rechts– bzw. zweiseitiges Ideal in B. Dann gibt es ein φ ∈ Δ_{B}(Z) und ein maximales Links– bzw. Rechts– bzw. zweiseitiges Ideal J_{φ} in B_{φ} mit

J = π_{φ}^{−1}(J_{φ}) = {x ∈ B; x̂(φ) ∈ J_{φ}}.

Beweis (nur für Linksideale). Sei J also ein maximales Linksideal in B. Nach Satz 1.7 gibt es ein φ ∈ Δ_{B}(Z), so daß π_{φ}(J) ein echtes Linksideal in B_{φ} ist, und somit in einem maximalen Linksideal J_{φ} von B_{φ} enthalten ist. Dann ist π_{φ}^{−1}(J_{φ}) ein das maximale Linksideal J enthaltendes Linksideal in B. Wegen 1 ∉ π_{φ}^{−1}(J_{φ}) und der Maximalität von J muß J = π_{φ}^{−1}(J_{φ}) gelten.

Den Beweis für maximale Rechtsideale bzw. maximale zweiseitige Ideale führt man analog. □

Folgerung 1.9. In der Situation (1.1) ist ein Element x ∈ B genau dann linksinvertierbar (bzw. rechtsinvertierbar bzw. invertierbar), wenn für alle φ ∈ Δ_{B}(Z) das Element π_{φ}(x) = x̂(φ) in B_{φ} linksinvertierbar (bzw. rechtsinvertierbar bzw. invertierbar) ist.

Beweis. Sei φ ∈ Δ_{B}(Z) beliebig. Da π_{φ} : B → B_{φ} ein unitaler Algebrenhomomorphismus ist, folgt aus der Linksinvertierbarkeit (bzw. Rechtsinvertierbarkeit bzw. Invertierbarkeit) von x ∈ B auch die entsprechende Invertierbarkeit von π_{φ}(x) in B_{φ}.

Ist x ∈ B nicht linksinvertierbar (bzw. rechtsinvertierbar), so folgt x ∈ J für ein maximales Links– bzw. Rechtsideal J in B. Zu J gibt es nach Folgerung 1.8 ein φ ∈ Δ_{B}(Z) und ein maximales Links– bzw. Rechtsideal J_{φ} in B_{φ} mit J = π_{φ}^{−1}(J_{φ}). Insbesondere folgt π_{φ}(x) ∈ J_{φ}. Das Element π_{φ}(x) ist also in B_{φ} nicht links– bzw. rechtsinvertierbar. □

Das Radikal rad A einer Algebra A mit Einselement 1 ist nach Definition gleich dem Durchschnitt über alle maximalen Linksideale und stimmt mit dem Durchschnitt über alle maximalen Rechtsideale überein. Es ist auch beschrieben durch

rad A = {x ∈ A; (1 − yx)^{−1} existiert in A für alle y ∈ A}
= {x ∈ A; (1 − xy)^{−1} existiert in A für alle y ∈ A}

(verg. z.B. [3], Satz 0.10). Mit dieser Darstellung des Radikals von B bzw. von B_{φ} erhalten wir aus Folgerung 1.9 unter Berücksichtigung der Surjektivität von π_{φ} für alle φ ∈ Δ_{B}(Z):

Folgerung 1.10. In der Situation (1.1) gilt:

rad B = ⋂_{φ∈Δ_{B}(Z)} π_{φ}^{−1}(rad B_{φ}).

Eine unitale Algebra A mit Einselement 1 heißt bekanntlich halbeinfach, falls rad A = {0} gilt.

Folgerung 1.11. Ist in der Situation (1.1) die Banachalgebra B halbeinfach, so ist die Abbildung Γ_{Z} : B → Γ_{Z}(B) injektiv.

Beweis. Ist B halbeinfach, so gilt

ker Γ_{Z} = ⋂_{φ∈Δ_{B}(Z)} π_{φ}^{−1}({0}) ⊆ ⋂_{φ∈Δ_{B}(Z)} π_{φ}^{−1}(rad B_{φ}) = rad B = {0}.

□

Als erstes Anwendungsbeispiel wollen wir die von Graham Allan in [6] eingeführten Banachalgebren vektorwertiger Funktionen betrachten.

Definition 1.12. Sei K ein kompakter Hausdorffraum. Für jedes t ∈ K sei (B(t), ∥·∥_{t}) eine komplexe Banachalgebra mit Einselement 1_{t}. Sei weiter C eine die konstante Funktionen enthaltende, abgeschlossene Unteralgebra der Algebra (C(K), ∥ · ∥_{K}) aller stetigen komplexwertigen Funktionen auf K mit Δ(C) = K (wobei wir für t ∈ K den Punkt t mit dem Diracfunktional δ_{t} zu t identifizieren). Insbesondere trennt C die Punkte von K. Sei P := ∏_{t∈K} B(t) die Produktalgebra. Eine Unteralgebra B von P heiße Banachalgebra vektorwertiger Funktionen auf K über C, falls die folgenden vier Bedingungen erfüllt sind:

(a) Für alle t ∈ K ist die Projektion x ↦ x(t) auf die t–Komponente von B nach B(t) surjektiv.

(b) Für alle x ∈ B gilt

sup_{t∈K} ∥x(t)∥_{t} < ∞,

d.h. die durch

N_{x} : K → ℝ , t ↦ N_{x}(t) := ∥x(t)∥_{t} ,

definierte Funktion ist auf K beschränkt.

(c) B ist vollständig bezüglich der durch

∥x∥ := sup_{t∈K} N_{x}(t) (x ∈ B)

definierten Norm auf B und damit eine Banachalgebra.

(d) Für alle f ∈ C gilt

f̃:= (f(t)1_{t})_{t∈K} ∈ B.

Ist zusätzlich für alle x ∈ B die Funktion N_{x} stetig (bzw. nach oben halbstetig), so heißt B eine stetige (bzw. oberhalb stetige) Banachalgebra vektorwertiger Funktionen auf K über C.

Ist B eine Banachalgebra vektorwertiger Funktionen auf einem kompakten Hausdorffraum K über einer abgeschlossenen Unteralgebra C von C(K), so ist die Abbildung f ↦ f̃ ein isometrischer Algebrenmonomorphismus von C auf eine abgeschlossene Unteralgebra des Zentrums Z(B) von B. Wir schreiben dann C̃ := {f̃; f ∈ C}. Mit Z := C̃ liegt also eine Situation wie in (1.1) vor. Wegen Δ(C) = K können wir auch Δ(C̃) in kanonischer Weise mit K identifizieren (vermöge t ↦ δ̃_{t}, wobei δ̃_{t}(f̃) := f(t) für alle t ∈ K, f̃ ∈ C̃). Mit dieser Identifikation gilt:

Satz 1.13 (Allan [6]). Sei B eine Banachalgebra vektorwertiger Funktionen auf einem kompakten Hausdorffraum K über C ⊆ C(K). Dann gilt:

(a) Δ_{B}(C̃) = Δ(C̃) = K.

(b) Der Homomorphismus ΓC̃: B → ΓC̃(B), x ↦ ΓC̃(x) = x̂, ist eine Isometrie.

Beweis. Für alle t ∈ K gilt

ker δ̃_{t} = {f̃; f ∈ C, f(t) = 0} ⊆ J_{t} := {x ∈ B; x(t) = 0}

und J_{t} ist ein echtes Ideal in B. Also sind alle δ̃_{t} ∈ Δ(C̃) B–erweiterbar. Insbesondere folgt (a) und das von ker δ̃_{t} erzeugte abgeschlossene zweiseitige Ideal I(t) ist in J_{t} enthalten. Wir definieren ρ : ΓC̃(B) → B durch

ρ(x̂) := x für alle x ∈ B .

Wir zeigen zunächst, daß ρ wohldefiniert ist: Sind x, y ∈ B mit x̂ = ŷ, so folgt für alle t ∈ K: x + I(t) = x̂(δ̃_{t}) = ŷ(δ̃_{t}) = y + I(t) und damit

x − y ∈ I(t) ⊆ J_{t} = {u ∈ B; u(t) = 0} .

Also gilt x(t) = y(t) für alle t ∈ K und somit x = y. Man rechnet unmittelbar nach, daß ρ ein unitaler Algebrenhomomorphismus ist. Für alle t ∈ K, x ∈ B gilt ferner

∥x̂(δ̃_{t})∥_{B/I(t)} = inf_{u∈I(t)} ∥x + u∥ ≥ inf_{u∈J_{t}} ∥x + u∥ = inf_{u∈J_{t}} sup_{s∈K} ∥x(s) + u(s)∥_{s}
≥ ∥x(t) + u(t)∥_{t} = ∥x(t)∥_{t} .

Damit folgt für alle x ∈ B:

∥ρ(x̂)∥ = ∥x∥ = sup_{t∈K} ∥x(t)∥_{t} ≤ sup_{t∈K} ∥x̂(δ̃_{t})∥_{B/I(t)} = ∥x̂∥_{Γ}

und somit ∥ρ∥ ≤ 1. Wegen ∥Γ∥ = 1 und Γ ∘ ρ = id_{B} ist dies nur möglich, wenn sowohl Γ wie auch ρ Isometrien sind. □

Ist B eine Banachalgebra von Funktionen auf dem kompakten Hausdorffraum K über einer abgeschlossenen Unteralgebra C von C(K) und ist J ein (Links– Rechts– oder zweiseitiges) Ideal in B, so setzen wir J (t) := {x(t) ; x ∈ J }. Das Ideal J heißt fixiert, falls J (t) für wenigstens ein t ∈ K ein echtes Ideal in B(t) ist. Gilt J (t) = B(t) für alle t ∈ K so heißt J frei. Wir sagen B besitzt die Fixidealeigenschaft, falls alle Ideale in B fixiert sind.

Mit den Bezeichnungen aus Definition 1.12 und Satz 1.13 erhalten wir aus den Sätzen 1.13 und 1.7:

Folgerung 1.14. Seien K, C und B wie in Definition 1.12. Dann ist B isometrisch isomorph zu einer oberhalb halbstetigen Banachalgebra (nämlich zu ΓC̃(B)) von vektorwertigen Funktionen auf K über C, welche die Fixidealeigenschaft besitzt.

10 1. DAS LOKALE PRINZIP VON GRAHAM ALLAN

Übungsaufgaben zu Kapitel 1

Aufgabe 1.1. Sei (B, ∥ · ∥) eine Banachalgebra mit Einselement 1. Zeigen Sie: Ist I ein echtes Links–, Rechts– oder zweiseitiges Ideal in B, so ist auch die Abschließung \overline{I} ein echtes Links– bzw. Rechts– bzw. zweiseitiges Ideal in B.

KAPITEL 2 Das lokale Prinzip für C^{∗}–Algebren

Besonders schön ist die Situation für C^{∗}–Algebren. Zur Herleitung benötigen wir zunächst einige Hilfsmittel aus der Theorie dieser Algebren. Zur Theorie der C^{∗}–Algebren sei insbesondere auf die Monographien [16, 15, 37, 40] verwiesen.

2.1. Hilfsmittel aus der Theorie der C^{∗}–Algebren

Zur Erinnerung:

Definition 2.1. Eine komplexe Banachalgebra (B, ∥ · ∥) heißt C^{∗}–Algebra, falls eine Abbildung ^{∗} : B → B, x ↦ x^{∗}, existiert mit den folgenden Eigenschaften:

(a) ^{∗} ist eine Involution, d.h. es ist (x^{∗})^{∗} = x für alle x ∈ B.

(b) ^{∗} ist konjugiert–linear, d.h. für alle x, y ∈ B, α, β ∈ ℂ gilt (αx+βy)^{∗} = \overline{α}x^{∗}+\overline{β}y^{∗}.

(c) Für alle x, y ∈ B gilt (xy)^{∗} = y^{∗}x^{∗}.

(d) Für alle x ∈ B gilt ∥x∥^{2} = ∥x^{∗}x∥.

Die in der Funktionalanalysisvorlesung [3], Kapitel 15, bereits behandelten elementaren Eigenschaften der C^{∗}–Algebren werden in diesem Abschnitt als bekannt vorausgesetzt.

Bekanntlich ist jede Banachalgebra isometrisch isomorph zu einer abgeschlossenen Unteralgebra einer Banachalgebra mit einem Einselement. Eine entsprechende Aussage gilt auch in der Kategorie der C^{∗}–Algebren:

Satz 2.2. Jede C^{∗}–Algebra (B, ∥ · ∥) ist isometrisch ∗–isomorph zu einer abgeschlossenen C^{∗}–Unteralgebra einer C^{∗}–Algebra B^{♯} mit Einselement 1.

Beweis. Für alle a ∈ B definieren wir L(a) ∈ L(B) durch L(a)x := ax für alle x ∈ B. Die hierdurch definierte Abbildung L : B → L(B) (linksreguläre Darstellung von B genannt) ist offensichtlich ein Algebrenhomomorphismus. Wir definieren

B^{♯} := {L(a) + α1 ; a ∈ B, α ∈ ℂ}

und versehen B^{♯} mit der auf B^{♯} eingeschränkten Operatornorm von L(B). Besitzt B ein Einselement 1_{B} so ist L(1_{B}) = 1 und B^{♯} = L(B). Andernfalls ist L(B) ein maximales zweiseitiges Ideal in B^{♯} der Kodimension 1. Wir definieren eine Involution ∗ auf B^{♯} durch (L(a) + α1)^{∗} := L(a^{∗}) + \overline{α}1 für alle a ∈ B, α ∈ ℂ. Dann ist L : B → B^{♯} ein ∗-Homomorphismus.

Für alle a, x ∈ B gilt ∥L(a)x∥ = ∥ax∥ ≤ ∥a∥·∥x∥. L(a) ist also stetig mit ∥L(a)∥ ≤ ∥a∥. Wegen ∥x∥^{2} = ∥xx^{∗}∥ = ∥L(x)x^{∗}∥ ≤ ∥L(x)∥ · ∥x∥ ist L sogar eine Isometrie. Analog sieht man, daß auch die rechtsreguläre Darstellung R : B → L(B) mit R(a)x := xa für alle a, x ∈ B ein isometrischer Algebrenhomomorphismus ist. Insbesondere ist L(B) und damit (wegen B^{♯} = L(B) + ℂ1) auch B^{♯} abgeschlossen in L(B) also auch vollständig (vergl. etwa Lemma 10.4 in [3]).

12 2. DAS LOKALE PRINZIP FÜR C^{∗}–ALGEBREN

Sei L(a) + α1 ∈ B^{♯} beliebig (mit a ∈ B, α ∈ ℂ. Für alle x ∈ B mit ∥x∥ ≤ 1 folgt

∥(L(a) + α1)^{∗}x∥ = ∥R((L(a) + α1)^{∗}x)∥ = sup_{∥y∥≤1} ∥y(a^{∗} + \overline{α})x∥ = sup_{∥y∥≤1} ∥(y(a^{∗} + \overline{α})x)^{∗}∥

= sup_{∥y∥≤1} ∥x^{∗}(a + α)y^{∗}∥ ≤ sup_{∥y∥≤1} ∥(a + α)y^{∗}∥ ≤ sup_{∥y∥≤1} ∥(L(a) + α1)y^{∗}∥

≤ ∥L(a) + α1∥ .

Durch Übergang zum Supremum bezüglich x sieht man ∥(L(a) + α1)^{∗}∥ ≤ ∥L(a) + α1∥. Analog zeigt man ∥L(a) + α1∥ ≤ ∥(L(a) + α1)^{∗}∥. Die Involution ∗ ist also eine konjugiert lineare Isometrie von B^{♯} auf sich.

Daß B^{♯} die Bedingungen (a)–(c) in Definition 2.1 erfüllt, rechnet man unmittelbar nach. Um zu zeigen, daß B^{♯} eine C^{∗}–Algebra ist, müssen wir noch (d) verifizieren. Seien also a ∈ B und α ∈ ℂ beliebig. Dann gibt es zu beliebigem ε > 0 nach Definition der Operatornorm ein x ∈ B mit ∥x∥ ≤ 1 und

∥L(a) + α1∥^{2} < ε + ∥(a + α)x∥^{2}.

Da B eine C^{∗}–Algebra ist folgt

∥L(a) + α1∥^{2} < ε + ∥(L(a) + α)x∥^{2} = ε + ∥x^{∗}(a^{∗} + \overline{α})(a + α)x∥
≤ ε + ∥(a^{∗} + \overline{α})^{∗}(a + α)x∥ = ε + ∥(L(a) + α))^{∗}(L(a) + α)x∥
≤ ε + ∥(L(a) + α))^{∗}(L(a) + α)∥

Damit erhalten wir für ε → 0

∥L(a) + α1∥^{2} ≤ ∥(L(a) + α))^{∗}(L(a) + α)∥ ≤ ∥(L(a) + α))^{∗}∥ · ∥L(a) + α∥ = ∥L(a) + α1∥^{2}.

Dies zeigt, daß auch die Bedingung (d) in Definition 2.1 für B^{♯} erfüllt ist. □

Wir werden in Zukunft B mit seinem isometrisch ∗–isomorphen Bild L(B) als Unteralgebra von B^{♯} identifizieren. Ein Element a ∈ B heißt positiv, falls es hermitesch ist (d.h. a = a^{∗} erfüllt) und σ_{B^{♯}}(a) ⊂ [0, ∞) gilt. Wir schreiben dann auch a ≥ 0. Sind a, b ∈ B mit b − a ≥ 0, so schreiben wir a ≤ b. Hierdurch wird eine teilweise Ordnung auf B definiert.

Definition 2.3. Eine auf einem Intervall I_{f} ⊆ ℝ definierte stetige Funktion f : I_{f} → ℝ heißt operatormonoton fallend bzw. wachsend, falls für alle hermiteschen Elemente a, b einer jeden C^{∗}–Algebra B mit a ≤ b und σ_{B^{♯}}(a) ∪ σ_{B^{♯}}(b) ⊆ I_{f} gilt f(b) ≤ f(a) bzw. f(a) ≤ f(b). Hierbei bezeichne f ↦ f(a) den stetigen Funktionalkalkül aus [3], Satz 15.13.

Beispiele 2.4. (a) Die Funktion t ↦ 1/t ist nach Aufgabe 2.2 (b) operatormonoton fallend.

(b) Für alle α > 0 sind die Funktionen

f_{α} : I_{α} := (−1/α, ∞) → ℝ , t ↦ f_{α}(t) := \frac{t}{1 + αt} = \frac{1}{α}(1 − \frac{1}{1 + αt}),

auf I_{α} operatormonoton wachsend. Dies rechnet man leicht mit Hilfe von (a) nach (vergl. Aufgabe 2.2).

Definition 2.5. Sei (A, ∥ · ∥) eine Banachalgebra. Unter einer linken bzw. rechten approximativen Eins verstehen wir ein Netz (u_{α})_{α∈A} in A mit

∀a ∈ A : ∥u_{α}a − a∥ → 0 (bzw. ∥au_{α} − a∥ → 0) .

Ist (u_{α})_{α∈A} sowohl eine linke wie auch eine rechte approximative Eins in A, so nennen wir (u_{α})_{α∈A} eine zweiseitige approximative Eins in A. Eine linke bzw. rechte bzw. zweiseitige approximative Eins (u_{α})_{α∈A} in A heißt beschränkt, falls sup_{α∈A} ∥u_{α}∥ < ∞ gilt.

2.1. HILFSMITTEL AUS DER THEORIE DER C^{∗}–ALGEBREN 13

In C^{∗}-Algebren gibt es immer eine zweiseitige, beschränkte approximative Eins.

Satz 2.6. Sei B eine C^{∗}–Algebra und sei

P_{1} := {u ∈ B; 0 ≤ u, ∥u∥ < 1}

versehen mit der durch

u ≤ v : ⟺ v − u ≥ 0

gegebenen teilweisen Ordnung. Dann ist P_{1} gerichtet und (u)_{u∈P_{1}} ist eine beschränkte, zweiseitige approximative Eins in B.

Beweis. Wir zeigen zunächst, daß P_{1} gerichtet ist: Seien also u, v ∈ P_{1} beliebig. Die Funktion h : t ↦ t/(1 − t) bildet das Intervall [0, 1) auf [0, ∞) ab. Nach dem Funktionalkalkül für positive Elemente sind also auch die Elemente a := h(u) = (1 − u)^{−1}u und b := h(v) = (1 − v)^{−1}v und damit auch a + b positiv. Wir setzen nun (mit f_{1} wie in Beispiel 2.4 (b))

w := f_{1}(a + b) = (1 + a + b)^{−1}(a + b) .

Wegen a ≤ a+b und der Tatsache, daß f_{1} nach Beispiel 2.4 (b) operatormonoton wachsend ist, folgt wegen f_{1} ∘ h = id_{[0,1)}:

w = f_{1}(a + b) ≥ f_{1}(a) = f_{1}(h(u)) = u.

Ebenso sieht man, daß v ≤ w gilt. Wegen f_{1}([0, ∞)) = [0, 1) ist w ∈ P_{1} mit u ≤ w und v ≤ w.

Zu zeigen ist noch

∀a ∈ B :  lim_{u∈P_{1}} ∥(1 − u)a∥ = 0 = lim_{u∈P_{1}} ∥a(1 − u)∥ .

Wegen ∥a(1 − u)∥ = ∥(a(1 − u))^{∗}∥ = ∥(1 − u)a^{∗}∥ für alle u ∈ P_{1} genügt es, die erste dieser Gleichungen zu beweisen. Da jedes Element von B eine Linearkombination von höchstens vier positiven Elementen von B ist, genügt es zu zeigen:

∀0 ≤ a ∈ B : 0 = lim_{u∈P_{1}} ∥(1 − u)a∥^{2} = lim_{u∈P_{1}} ∥a(1 − u)^{2}a∥.

Wegen

∥a(1 − u)^{2}a∥ ≤ ∥a(1 − u)a∥

für alle 0 ≤ a ∈ B, u ∈ P_{1} (nach Aufgabe 2.2 (a) und 2.3 (b)) genügt es die Aussage

∀0 ≤ a ∈ B :  lim_{u∈P_{1}} ∥a(1 − u)a∥ = 0  (2.1)

zu beweisen. Sei also a ein beliebiges positives Element von B und sei ε > 0 beliebig. Wir setzen α := \frac{1}{ε}(∥a∥ + 1). Wegen αf_{α}([0, ∞)) = [0, 1) (f_{α} wie in Beispiel 2.4 (b)) ist αf_{α}(a) ∈ P_{1} und es folgt nach Definition von f_{α}:

a(1 − αf_{α}(a))a = a(1 + αa)^{−1}a = af_{α}(a).

Für alle u ∈ P_{1} mit u ≥ αf_{α}(a) erhalten wir also (unter Verwendung der Aufgaben 2.2 (a) und 2.3 (b))

∥a(1 − u)a∥ ≤ ∥a(1 − αf_{α}(a))a∥ = ∥af_{α}(a)∥ ≤ ∥a∥ · \frac{1}{α} · ∥αf_{α}(a)∥ ≤ \frac{∥a∥}{α} = \frac{ε∥a∥}{∥a∥ + 1} < ε.

Damit ist (2.1) gezeigt und die Behauptung bewiesen. □

Lemma 2.7. Sei B eine C^{∗}–Algebra. Dann gilt (mit f_{α} wie in Beispiel 2.4 (b)) für alle a ∈ B:

a^{∗} = lim_{α→∞} αf_{α}(a^{∗}a)a^{∗} = lim_{α→∞} α(1 + αa^{∗}a)^{−1}a^{∗}aa^{∗}.

Beweis. Nach dem Beweis zu Satz 2.6 gilt αf_{α}(a^{∗}a) ∈ P_{1} für alle α > 0 und daher

∥1 − αf_{α}(a^{∗}a)∥ ≤ 1.

Es folgt daher (unter Verwendung von (1 − αtf_{α}(t))t ≡ f_{α}(t) und des Funktionalkalküls für das positive Element a^{∗}a) für α → ∞

∥(1 − αf_{α}(a^{∗}a))a^{∗}∥^{2} = ∥(1 − αf_{α}(a^{∗}a))a^{∗}((1 − αf_{α}(a^{∗}a))a^{∗})^{∗}∥

= ∥(1 − αf_{α}(a^{∗}a))a^{∗}a(1 − αf_{α}(a^{∗}a))∥

≤ ∥(1 − αf_{α}(a^{∗}a))a^{∗}a∥ = ∥f_{α}(a^{∗}a)∥ = \frac{∥αf_{α}(a^{∗}a)∥}{α} ≤ \frac{1}{α} → 0

und damit die Behauptung. □

Folgerung 2.8. Für ein abgeschlossenes Linksideal J in einer C^{∗}–Algebra B sind äquivalent:

(a) J ist symmetrisch, d.h. es gilt J = J^{∗} := {a^{∗}; a ∈ J }.

(b) J ist ein zweiseitiges Ideal in B.

Beweis. (a)⟹(b): Sei (a) erfüllt, so folgt für alle x ∈ B, a ∈ J: Es ist x^{∗}a^{∗} ∈ J also auch ax = (x^{∗}a^{∗})^{∗} ∈ J. J ist also ein zweiseitiges Ideal in B.^{1}

(b)⟹(a): Sei nun J ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal. Dann folgt nach Lemma 2.7 für alle a ∈ J:

a^{∗} = lim_{α→∞} α(1 − αa^{∗}a)^{−1}a^{∗}aa^{∗} ∈ J ,

d.h. J ist symmetrisch. □

Mit dieser Folgerung erhalten wir unmittelbar:

Folgerung 2.9. Sei (B, ∥·∥) eine C^{∗}–Algebra und J ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal in B. Dann ist J versehen mit der auf J eingeschränkten Norm ∥ · ∥ und der auf J eingeschränkten Involution ebenfalls eine C^{∗}–Algebra, besitzt also nach Satz 2.6 eine beschränkte, zweiseitige approximative Eins aus positiven Elementen.

Ist J ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal in einer C^{∗}–Algebra B, so ist B/J versehen mit der Quotientennorm wieder eine Banachalgebra und wir können auf B/J eine Involution definieren durch

(a + J)^{∗} := a^{∗} + J für alle a ∈ B.

Da J ein symmetrisches Ideal ist, ist diese Involution wohldefiniert. Es gilt sogar:

Satz 2.10. Ist J ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal in einer C^{∗}–Algebra (B, ∥ · ∥), so ist die Quotientenalgebra B/J bezüglich der Quotientennorm und der oben angegebenen Involution eine C^{∗}–Algebra. Ist (u)_{u∈P_{1}} mit P_{1} := {u ∈ J ; u ≥ 0, ∥u∥ < 1} die gemäß Satz 2.6 angegebene beschränkte, zweiseitige approximative Eins in J, so gilt für alle a ∈ B:

∥a + J ∥_{B/J} = inf_{x∈J} ∥a − x∥ = lim_{u∈P_{1}} ∥a(1 − u)∥ = lim_{u∈P_{1}} ∥(1 − u)a∥.  (2.2)

Beweis. Sei a ∈ B beliebig und δ := ∥a + J ∥_{B/J} = inf_{x∈J} ∥a − x∥. Wegen au ∈ J für alle u ∈ P_{1} folgt

δ^{2} ≤ ∥a(1 − u)∥^{2} = ∥a(1 − u)^{2}a^{∗}∥ ≤ ∥a(1 − u)a^{∗}∥.  (2.3)

Wegen a(1 − u)a^{∗} ≤ a(1 − v)a^{∗} für alle u, v ∈ P_{1} mit u ≤ v existiert der Grenzwert

γ := lim_{u∈P_{1}} ∥a(1 − u)a^{∗}∥ = inf_{u∈P_{1}} ∥a(1 − u)a^{∗}∥.

1Die Abgeschlossenheit von J wurde für diesen Beweisteil nicht benötigt.

Sei nun ε > 0 beliebig und x ∈ J mit ∥a − x∥ ≤ δ + ε. Dann folgt für alle u ∈ P_{1}:

(δ + ε)^{2} ≥ ∥a − x∥ · ∥1 − u∥ · ∥a^{∗} − x^{∗}∥ ≥ ∥(a − x)(1 − u)(a^{∗} − x^{∗})∥

und hieraus wegen lim_{u∈P_{1}} ∥x(1 − u)∥ = 0 = lim_{u∈P_{1}} ∥(1 − u)x^{∗}∥

(δ + ε)^{2} ≥ lim_{u∈P_{1}} ∥a(1 − u)a^{∗}∥ = γ.

Da ε > 0 beliebig ist, folgt δ^{2} ≥ γ. Wegen (2.3) existiert also auch der Grenzwert lim_{u∈P_{1}} ∥a(1 − u)∥^{2} und es gilt

δ^{2} = ∥a + J ∥_{B/J}^{2} ≤ lim_{u∈P_{1}} ∥a(1 − u)∥^{2} ≤ γ ≤ δ^{2}.

Hiermit folgt das vorletzte Gleichheitszeichen in (2.2). Das verbleibende Gleichheitszeichen zeigt man analog.

Für alle a ∈ B gilt somit

∥(a + J)^{∗}(a + J)∥_{B/J} = ∥a^{∗}a + J ∥_{B/J} = lim_{u∈P_{1}} ∥a^{∗}a(1 − u)∥ ≥ lim_{u∈P_{1}} ∥(1 − u)a^{∗}a(1 − u)∥

≥ lim_{u∈P_{1}} ∥a(1 − u)∥^{2} = ∥a + J ∥_{B/J}^{2} .

Wegen

∥(a + J)^{∗}∥_{B/J} = ∥a^{∗} + J ∥_{B/J} = lim_{u∈P_{1}} ∥a^{∗}(1 − u)∥ = lim_{u∈P_{1}} ∥(a^{∗}(1 − u))^{∗}∥

= lim_{u∈P_{1}} ∥(1 − u)a∥ = ∥a + J ∥_{B/J}

und der Submultiplikativität der Quotientennorm folgt auch

∥(a + J)^{∗}(a + J)∥_{B/J} ≤ ∥(a + J)^{∗}∥_{B/J} ∥a + J ∥_{B/J} = ∥a + J ∥_{B/J^{2}}.

Also ist die Bedingung (d) aus Definition 2.1 für die Quotientennorm ∥ · ∥_{B/J} erfüllt und (B/J , ∥ · ∥_{B/J}) ist eine C^{∗}–Algebra. □

Ist H ein Hilbertraum, so ist die Menge K(H) der komakten Operatoren von H in sich bekanntlich (siehe z.B. [3], Lemma 9.4) ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal. Die Calkin-Algebra Q(H) := L(H)/K(H) ist also nach Satz 2.10 wieder eine C^{∗}-Algebra.

C^{∗}–Algebren haben die schöne Eigenschaft, daß unitale ∗-Monomorphismen schon Isometrien sind.

Satz 2.11. Seien (A, ∥ · ∥_{A}) und (B, ∥ · ∥_{B}) zwei C^{∗}–Algebren mit Einselementen 1_{A} bzw. 1_{B}. Dann ist jeder unitale ∗-Monomorphismus Φ : A → B schon eine Isometrie.

Beweis. Aus der Funktionalanalysis ist bekannt (vergl. [3], Aufgabe 15.4), daß Φ schon stetig ist mit ∥Φ∥ = 1. Sei a ∈ A beliebig. Wegen ∥a∥_{A}^{2} = ∥a^{∗}a∥_{A} und ∥Φ(a)∥_{B}^{2} = ∥Φ(a)^{∗}Φ(a)∥_{B} = ∥Φ(a^{∗}a)∥_{B} genügt es ∥Φ(a^{∗}a)∥_{B} = ∥a^{∗}a∥_{A} zu zeigen. Mit a^{∗}a ist auch Φ(a^{∗}a) = Φ(a)^{∗}Φ(a) positiv. Sei A_{0} bzw. B_{0} die von a^{∗}a und 1_{A} bzw. von Φ(a^{∗}a) und 1_{B} erzeugte unitale kommutative abgeschlossene C^{∗}–Unteralgebra von A bzw. B und sei Φ_{0} : A_{0} → B_{0} die Einschränkung von Φ auf A_{0}. Die transponierte Abbildung Φ′_{0} : B′_{0} → A′_{0} ist dann stetig bezüglich der schwach-∗-Topologien auf B′_{0} bzw. A′_{0}. Insbesondere ist also

Φ′_{0}(Δ(B_{0})) = {φ ∘ Φ_{0} ; φ ∈ Δ(B_{0})}

als stetiges Bild des kompakten Hausdorffraums Δ(B_{0}) eine kompakte Teilmenge von Δ(A_{0}). Nach dem Satz von Gelfand und Neumark (siehe etwa Satz 5.8 in [3]) ist der Gelfandhomomorphismus von A_{0} (bzw. B_{0}) nach C(Δ(A_{0})) (bzw. C(Δ(B_{0}))) ein isometrischer ∗-Isomorphismus. Wäre Φ′_{0}(Δ(B_{0})) ≠ Δ(A_{0}), so gäbe es also nach dem Urysohnschen Lemma ein Element x ∈ A_{0} mit x̂(Φ′_{0}(Δ(B_{0}))) = {0} und ψ(x) = x̂(ψ) = 1 für ein ψ ∈ Δ(A_{0}) \ Φ′_{0}(Δ(B_{0})). Aus { \atop Φ_{0}(x)}(φ) = φ(Φ_{0}(x)) = 0 für alle φ ∈ Δ(B_{0}) würde Φ_{0}(x) = 0 folgen im Widerspruch zur Injektivität von Φ_{0}. Es gilt also Φ′_{0}(Δ(B_{0})) = Δ(A_{0}) und somit

∥a^{∗}a∥_{A} = sup_{ψ∈Δ(A_{0})} |ψ(a^{∗}a)| = sup_{φ∈Δ(B_{0})} |φ(Φ_{0}(a^{∗}a))| = ∥Φ_{0}(a^{∗}a)∥_{B} = ∥Φ(a^{∗}a)∥_{B}.

Also ist Φ eine Isometrie. □

Schließlich benötigen wir noch

Satz 2.12. Jede C^{∗}–Algebra B mit Einselement 1 ist halbeinfach, d.h. erfüllt rad(B) = {0}.

Beweis. Das Radikal einer Algebra mit Eins ist gerade der Durchschnitt über alle maximalen Linksideale und stimmt mit dem Durchschnitt über alle maximalen Rechtsideale überein (vergl. z.B. [3], Satz 0.10). Wir führen den Beweis indirekt und nehmen an, daß es ein von Null verschiedenes Element a ∈ rad B gibt. Wegen 0 ≠ ∥a∥^{2} = ∥a^{∗}a∥ ist dann auch a^{∗}a ∈ rad B und von Null verschieden. Wegen a^{∗}a ≥ 0 ist

0 ≠ sup{|z|; z ∈ σ_{B}(a^{∗}a)} = ∥a^{∗}a∥ ∈ σ_{B}(a^{∗}a).

Insbesondere ist ∥a^{∗}a∥1 − a^{∗}a nicht invertierbar, muß also in einem maximalen Linksideal J liegen. Wegen a^{∗}a ∈ rad B ⊆ J folgt 1 = \frac{1}{∥a^{∗}a∥}(∥a^{∗}a∥1−a^{∗}a+a^{∗}a) ∈ J im Widerspruch dazu, daß J ein echtes Ideal ist. Daher muß rad B = {0} gelten. □

2.2. Die Douglasvariante des lokalen Prinzips

Nach den Vorbereitungen des vorherigen Abschnitts können wir nun das lokale Prinzip in der Variante von Douglas für C^{∗}–Algebren herleiten.

Satz 2.13. Sei (B, ∥ · ∥) eine C^{∗}–Algebra mit Einselement 1 und sei Z eine Unteralgebra von Z(B), so daß (1.1) erfüllt ist. Dann ist Γ_{Z}(B) wieder eine C^{∗}–Algebra und die Abbildung Γ_{Z} : B → Γ_{Z}(B) ist ein unitaler, isometrischer ∗–Isomorphismus. Ist Z eine C^{∗}–Unteralgebra von Z(B), so gilt Δ_{B}(Z) = Δ(Z).

Beweis. Für alle φ ∈ Δ_{B}(Z) ist I(φ) nach Lemma 1.4 ein echtes zweiseitiges Ideal in B und nach Satz 2.10 ist die zugehörige mit der Quotientennorm versehene lokale Banachalgebra B/I(φ) mit ihrer kanonischen Involution eine C^{∗}–Algebra. Man verifiziert leicht, daß dann auch

B^{∞} := {a = (a_{φ})_{φ∈Δ_{B}(Z)} ∈ ∏_{φ∈Δ_{B}(Z)} B/I(φ) ; ∥a∥_{∞} := sup_{φ∈Δ_{B}(Z)} ∥a_{φ}∥_{B/I(φ)} < ∞}

bezüglich der Norm ∥ · ∥_{∞} mit der komponentenweisen Involution wieder eine C^{∗}–Algebra ist. Die Abbildung

x ↦ Γ_{Z}(x) = x̂ = (x̂(φ))_{φ∈Δ_{B}(Z)} = π_{φ}(x)

ist dann ein unitaler ∗-Homomorphismus von B nach B^{∞}, der wegen

∥x̂∥_{∞} = sup_{φ∈Δ_{B}(Z)} ∥π_{φ}(x)∥_{B/I(φ)} ≤ ∥x∥

stetig ist. Da B nach Satz 2.12 als unitale C^{∗}–Algebra halbeinfach ist, ist Γ_{Z} nach Folgerung 1.11 injektiv und somit nach Satz 2.11 eine Isometrie. Insbesondere ist Γ_{Z}(B) als abgeschlossene ∗-Unteralgebra von B^{∞} wieder eine C^{∗}–Algebra.

Sei nun speziell Z eine C^{∗}–Unteralgebra von Z(B). Dann ist Z nach dem Satz von Gelfand und Neumark isometrisch ∗-isomorph zu C(Δ(Z)). Wir machen die Annahme: Δ_{B}(Z) ≠ Δ(Z). Dann gibt es ein ψ ∈ Δ(Z) \ Δ_{B}(Z). Nach Lemma 1.5 ist Δ_{B}(Z) eine abgeschlossene Teilmenge von Δ(Z). Nach dem Lemma von Urysohn gibt es also ein z ∈ Z mit ψ(z) = 1 und φ(z) = 0 also auch z ∈ I(φ) für alle φ ∈ Δ_{B}(Z). Es folgt Γ_{Z}(z) = 0 im Widerspruch zur bereits gezeigten Injektivität von Γ_{Z}. Also muß Δ_{B}(Z) = Δ(Z) gelten. □

Übungsaufgaben zu Kapitel 2

Aufgabe 2.1. Sei B eine C^{∗}–Algebra (nicht notwendig mit einem Einselement). Zeigen Sie:

(a) Für a ∈ B gilt a ≥ 0 genau dann, wenn es ein positives Element b ∈ B gibt mit b^{2} = a.

(b) Ist a ∈ B hermitesch, so gibt es positive Elemente u, v ∈ B mit uv = vu = 0 und a = u − v.

(c) Jedes Element von B ist Linearkombination von vier positiven Elementen von B.

Aufgabe 2.2. Sei B eine C^{∗}–Algebra und seien a, b ∈ B hermitesch mit a ≤ b. Zeigen Sie:

(a) Für alle x ∈ B gilt x^{∗}ax ≤ x^{∗}bx.
(b) Sind a, b invertierbar mit 0 ≤ a ≤ b, so gilt 0 ≤ b^{−1} ≤ a^{−1} in B^{♯}.

Hinweis: Verwenden Sie (a) und Aufgabe 2.1 (a).

(c) Für alle α > 0 mit σ_{B^{♯}}(a)∪σ_{B^{♯}}(b) ⊆ I_{α} := (1/α, ∞) gilt (1+αa)^{−1}a, (1+αb)^{−1}b ∈

B und (1 + αa)^{−1}a ≤ (1 + αb)^{−1}b. Hinweis: Verwenden Sie (b) und die Darstellung

\frac{t}{1 + αt} = \frac{1}{α}(1 − \frac{1}{1 + αt}) , (t > 1/α).

Aufgabe 2.3. Sei B eine C^{∗}–Algebra und seien a, b ∈ B positive Elemente mit a ≤ b. Zeigen Sie:

(a) a ≤ ∥a∥1 in B^{♯}.

(b) ∥a∥ ≤ ∥b∥.

Hinweis: Verwenden Sie den aus der Funktionalanalysis bekannten Funktionalkalkül für normale (und damit insbesondere auch für positive) Elemente in C^{∗}–Algebren mit Einselement.

Aufgabe 2.4. Sei A eine C^{∗}–Algebra. Zeigen Sie: Ist J ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal und B eine C^{∗}–Unteralgebra von A, so ist B + J eine C^{∗}–Unteralgebra von A.

Hinweis: Zeigen Sie zunächst daß der allgemeine Fall der Aufgabenstellung sich zurückführen läßt auf den den Fall, daß A ein Einselement 1 besitzt und daß 1 ∈ B gilt. Verifizieren Sie in dieser Situation, daß B/(B ∩ J) in kanonischer Weise eine C^{∗}–Algebra ist und daß durch b + B ∩ J ↦ b + J ein ∗–Monomorphismus von B/(B ∩ J) nach A/J gegeben ist. Schließen Sie sodann auf die Abgeschlossenheit von B + J.

Aufgabe 2.5. Sei (B, ∥ · ∥) eine C^{∗}–Algebra mit Einselement 1 und sei S eine Teilmenge von S, so daß die von S in B algebraisch erzeugte Unteralgebra S_{0} von B dicht in B liegt. Mit com(S) bezeichnen wir das kleinste, abgeschlossene, zweiseitige Ideal in B das alle Kommutatoren

ab − ba , (a, b ∈ S)

von S enthält. Wir nennen com(S) das Kommutatorideal von S in B. Zeigen Sie: (a) com(S) = com(S_{0}) = com(B).

(b) Die Quotientenalgebra B/ com(S) ist eine kommutative C^{∗}–Algebra.

Aufgabe 2.6. Wir betrachten die Menge C := C([0, 1], M_{2}(ℂ)) aller auf [0, 1] stetigen Funktionen mit Werten in der Menge aller 2 × 2-Matrizen. Versehen mit den punktweisen Operationen der Addition, der Multiplikation, der Multiplikation mit Skalaren und der und der durch die punktweise Adjungiertenbildung definierten Involution sowie der durch

∥A∥ := sup_{t∈[0,1]} ∥A(t)∥_{s} (A ∈ C([0, 1], M_{2}(ℂ)))

definierten Norm ist dies eine C^{∗}–Algebra. Hierbei sei ∥ · ∥_{s} die Operatornorm auf L(ℂ^{2}) bezüglich der euklidischen Norm auf ℂ^{2}.

(a) Zeigen Sie, daß ∥ · ∥ tatsächlich eine C^{∗}–Norm auf C([0, 1], M_{2}(ℂ)) ist.

(b) Berechnen Sie das Zentrum Z von C([0, 1], M_{2}(ℂ)).

(c) Geben Sie die Menge Δ(Z) aller nichtrivialen multiplikativen linearen Funktionale und die Menge Δ_{C}(Z) aller nichtrivialen C–erweiterbaren multiplikativen linearen Funktionale auf Z an.

(d) Berechnen Sie für alle φ ∈ Δ_{C}(Z), A ∈ C; die zu φ gehörige lokale Banachalgebra C_{φ} und das Spektrum von π_{φ}(A) in C_{φ}.

Aufgabe 2.7. Sei C die C^{∗}–Algebra aus der vorhergehenden Aufgabe und sei B die Menge aller derjenigen Matrixfunktionen

A = (\begin{matrix}a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{matrix}) ∈ C ,

die den folgenden Bedingungen genügen:

a_{1,1}(0) = a_{2,2}(1) und a_{j,k}(0) = a_{j,k}(1) = 0 für all j, k ∈ {1, 2} mit j ≠ k.

(a) Zeigen Sie, daß B eine abgeschlossene C^{∗}–Unteralgebra von C ist.

(b) Geben Sie alle multiplikativen linearen Funktionale auf B an.

(c) Berechnen Sie Z(B) sowie Δ(Z(B)) und Δ_{B}(Z(B)).

(d) Berechnen Sie für alle φ ∈ Δ_{B}(Z), A ∈ B; die zu φ gehörige lokale Banachalgebra B_{φ} und das Spektrum von π_{φ}(A) in B_{φ}.

KAPITEL 3 Hardy–Räume auf 𝕋

Wir geben hier nur eine kurze Einführung in die Theorie der Hardy–Räume auf der Einheitskreislinie 𝕋, soweit sie im folgenden Kapitel für die Behandlung der Toeplitzoperatoren auf H^{2}(𝕋) benötigt wird. Für die allgemeine Theorie der Hardy–Räume (im eindimensionalen Fall) verweisen wir auf die Monographien [20, 17, 24, 32].

3.1. Definition und erste Eigenschaften

Wir verwenden auf 𝕋 := {z ∈ ℂ; |z| = 1} das normalisierte Lebesguemaß, so daß also

∫_{𝕋} f(z) dm(z) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(e^{it})dt

für alle auf 𝕋 Lebesgue-integrierbaren Funktionen f gilt. Für 1 ≤ p < ∞ sei L^{p}(𝕋) wie üblich der Raum aller auf 𝕋 bezüglich m betragsmäßig zur p-ten Potenz integrierbaren Borel-meßbaren Funktionen modulo der Lebesgue-Nullfunktionen. Versehen mit der durch

∥f∥_{p} := (∫_{𝕋} |f(z)|^{p} dm)^{1/p} (f ∈ L^{p}(𝕋))

definierten Norm ist dies bekanntlich ein Banachraum in dem die Menge aller trigonometrischen Polynome dicht liegt.

Mit rca(𝕋) bezeichnen wir die Menge der regulären, σ-additiven ℂ–wertigen Mengenfunktionen auf den Borelmengen von 𝕋. Sei μ ein positives Maß aus rca(𝕋). Statt L^{p}(𝕋, μ) schreiben wir kurz L^{p}(μ).

Die Familie 𝔇_{ℚ}

𝔇_{ℚ} := {D(x + iy, ρ) = {z ∈ ℂ; |z − x − iy| < ρ}; x, y, ρ ∈ ℚ}

aller offenen Kreisscheiben mit rationalen Radien, und Mittelpunkten mit rationalen Realund Imaginärteilen ist abzählbar. Für eine Borel-meßbare Funktion f : 𝕋 → ℂ ist

V_{f} := ⋃{D ∈ 𝔇_{ℚ}; μ(f^{−1}(D)) = 0}

eine offene Teilmenge von ℂ. Wegen der σ-Additivität von μ folgt

μ(f^{−1}(V_{f})) = 0.

Die Menge V_{f} ist die größte offene Teilmenge V von ℂ mit μ(f^{−1}(V)) = 0. Wir definieren den μ–wesentlichen Wertebereich ess ran(f) von f durch

ess ran(f) := ℂ \ V_{f}

und das μ–wesentliche Supremum von f auf 𝕋 durch

ess sup_{z∈𝕋}|f(z)| := sup_{w∈ess ran(f)} |w|.

Die Funktion f heißt auf 𝕋 wesentlich beschränkt bzgl. μ, falls ess sup_{z∈𝕋} |f(z)| < ∞. In diesem Fall ist der μ–wesentliche Wertebereich von f kompakt.

Zwei meßbare Funktionen f, g, deren Differenz eine μ-Nullfunktion ist haben den selben wesentlichen Wertebereich und das selbe wesentliche Supremum.

20 3. HARDY–RÄUME AUF 𝕋

Die Menge aller bezüglich μ wesentlich beschränkten Funktionen auf 𝕋 bezeichnen wir mit L^{∞}(μ). Ist speziell μ = m das normalisierte Lebesguemaß auf 𝕋, so schreiben wir auch L^{∞}(𝕋) statt L^{∞}(μ).

f ist genau dann eine μ-Nullfunktion, falls ess sup_{z∈𝕋} |f(z)| = 0. Die Menge aller μ-Nullfunktionen auf 𝕋 bezeichnen wir mit N (μ). Offensichtlich gilt

ess sup_{z∈𝕋}|f(z)| ≤ ∥f∥_{𝕋} = sup_{z∈𝕋}|f(z)|

und f ∈ L^{∞}(μ) genau dann, wenn es eine Funktion h ∈ B(𝕋, B) gibt mit f − h ∈ N (μ). Die Menge

N^{∞}(μ) := {f ∈ B(𝕋, B) ; ess sup_{z∈𝕋}|f(z)| = 0}

ist dann ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal in B(𝕋, B). Versehen wir die Quotientenalgebra

L^{∞}(μ) := B(𝕋, B)/N^{∞}(μ)

mit ihrer Quotientennorm ∥ · ∥_{∞}, so wird L^{∞}(𝕋) zu einer kommutativen C^{∗}–Algebra (mit der durch f ↦ \overline{f} gegebenen Involution). Man rechnet nach, daß für alle f ∈ B(𝕋, B) gilt:

∥f + N^{∞}∥_{∞} = ess sup_{z∈𝕋}|f(z)| .

L^{∞}(μ) ist kanonisch isomorph zum Raum aller bezüglich m wesentlich beschränkten Funktionen auf 𝕋 modulo N (μ).

Man überlegt sich leicht, daß für alle p ∈ [1, ∞] und alle f ∈ L^{∞}(μ) der Multiplikationsoperator

M_{f} : L^{p}(μ) → L^{p}(μ), g ↦ M_{f}g := fg

stetig ist mit ∥M_{f}∥ = ∥f∥_{∞}.

Für 1 ≤ p ≤ ∞ definieren wir den Hardy–Raum H^{p} = H^{p}(𝕋) durch

H^{p} = H^{p}(𝕋) := {f ∈ L^{p}(𝕋) ; f̂_{−n} := ∫_{𝕋} f(z)z^{n} dm(z) = 0 für alle n ∈ ℕ}

= ⋂_{n∈ℕ}ker(f ↦ f̂_{−n}).

Da die linearen Funktionale f ↦ f̂_{−n} für alle n ∈ ℕ stetig sind, ist H^{P} ein abgeschlossener Untervektorraum von L^{p}(𝕋) und damit wieder ein Banachraum. Offensichtlich gilt

∀p ∈ [1, ∞] : H^{∞} ⊂ H^{p} ⊂ H^{1} .

Für alle n ∈ ℤ bezeichnen wir im folgenden mit e_{n} die Funktionen z ↦ z^{n} auf 𝕋. Offensichtlich gilt \overline{e_{n}} ≡ e_{−n} für alle n ∈ ℤ. Im Fall p = 2 ist L^{2}(𝕋) ein separabler Hilbertraum bezüglich des durch

⟨f, g⟩ := ∫_{𝕋} f(z)\overline{g(z)} dm(z) (f, g ∈ L^{2}(𝕋))

gegebenen Skalarprodukts und (e_{n})_{n∈ℤ} ist eine Orthonormalbasis für L^{2}(𝕋). Man hat dann

H^{2}(𝕋) = {e_{−n}; n ∈ ℕ}^{⊥}

und die Abbildung f ↦ (f̂_{n})_{n∈ℕ_{0}} definiert einen isometrischen Isomorphismus von H^{2} auf ℓ^{2}(ℕ_{0}). Insbesondere liegen die Einschränkungen aller holomorphen Polynome auf 𝕋 dicht in H^{2}.

Wir zeigen zunächst, daß eine reellwertige H^{1}-Funktion schon konstant sein muß.

Satz 3.1. Ist f ∈ H^{1}(𝕋) reellwertig, so ist f konstant.

Beweis. Ist f ∈ H^{1}(𝕋) reellwertig, so ist

α := ∫_{𝕋} f(z) dm(z) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(e^{it}) dt ∈ ℝ.

Durch

L(h) := ∫_{𝕋} h(z)(f(z) − α) dm(z) = ∫_{0}^{2π} h(e^{it})(f(e^{it}) − α) dt (f ∈ C(𝕋))

ist ein stetiges lineares Funktional L : C(𝕋) → ℂ definiert mit L(\overline{h}) = \overline{L(h)} für alle h ∈ C(𝕋). Aus der Definition von H^{1} und der Definition von L erhält man L(e_{n}) = 0 für alle n ∈ ℕ_{0}. Also folgt auch

L(e_{−n}) = L(\overline{e_{n}}) = \overline{L(e_{n})} = 0

für alle n ∈ ℕ_{0}. Somit verschwindet L auf allen trigonometrischen Polynomen. Da diese nach dem Satz von Weierstraß in C(𝕋) dicht liegen, ist L = 0 und daher f(z) − α = 0 m-fast überall. □

Folgerung 3.2. Sind f, \overline{f} ∈ H^{1}(𝕋) so ist f konstant.

Beweis. Sind f und \overline{f} in H^{1}(𝕋) so sind

Ref = \frac{1}{2}(f + \overline{f}) und Imf = \frac{1}{2}(f − \overline{f})

reellwertige Funktionen aus H^{1}(𝕋) und daher nach Satz 3.1 konstant. □

Wir geben nun eine Charakterisierung von H^{∞} an und zeigen, daß H^{∞} eine Unteralgebra von L^{∞}(𝕋) ist.

Satz 3.3.  (a) Für h ∈ L^{∞}(𝕋) gilt:  h ∈ H^{∞} ⟺ M_{h}H^{2} ⊆ H^{2}.

(b) H^{∞} ist eine Unteralgebra von L^{∞}(𝕋).

Beweis. (a) Gilt M_{h}H^{2} ⊆ H^{2}, so folgt insbesondere h = M_{h}1 ∈ H^{2} ∩ L^{∞} = H^{∞}. Sei nun umgekehrt h ∈ H^{∞}. Für holomorphe Polynome z ↦ p(z) = ∑_{j=0}^{m} a_{j}z^{j} und

alle k ∈ ℕ gilt dann

∫_{𝕋} z^{k}h(z)p(z) dm(z) = ∑_{j=0}^{m} a_{j} ∫_{𝕋} h(z)z^{j+k} dM(z) = 0.

Also gilt M_{h}p = hp ∈ H^{2}. Da die (Einschränkungen auf 𝕋 der) holomorphen Polynome in H^{2} dicht liegen und M_{h} auf L^{2}(𝕋) stetig ist, folgt M_{h}H^{2} ⊆ H^{2}.

(b) Für alle g, h ∈ H^{∞} gilt nach (a):

M_{gh} = M_{g}(M_{h}H^{2}) ⊆ M_{g}H^{2} ⊆ H^{2}

und daher (ebenfalls nach (a)) gh ∈ H^{∞}. □

3.2. Der Satz von Beurling

In diesem Abschnitt sei μ ein positives Maß aus rca(𝕋). Ziel dieses Teils der Vorlesung ist die Charakterisierung der invarianten Unterräume des Operators M_{z} := M_{e_{1}} = M_{id_{𝕋}} auf dem Hilbertraum L^{2}(μ). Wir beachten, daß M_{z} insbesondere ein unitärer Operator auf L^{2}(μ) ist mit M_{z}^{∗} = M_{z}^{−1} = M_{1/z} = M\overline{z} = M_{e_{−1}}.

Definition 3.4. Sei T ein stetiger linearer Operator auf einem Hilbertraum H. Ein abgeschlossener T -invarianter Unterraum M von H heißt

• reduzierend, falls M auch unter dem adjungierten Operator T^{∗} invariant ist.

• vollständig nicht reduzierend, falls M keinen von {0} verschiedenen reduzierenden abgeschlossenen T -invarianten Unterraum enthält.

Ist speziell T ∈ L(H) ein unitärer Operator, so ist T^{∗} = T^{−1} und ein abgeschlossener T -invarianter Unterraum M von H ist genau dann reduzierend, wenn M = T M gilt. Ist T ∈ L(H) unitär und M ein abgeschlossener T -invarianter Unterraum von H, so ist auch M_{1} := ⋂_{n=0}^{∞} T^{n}M ein abgeschlossener, T -invarianter Unterraum von M, der offensichtlich auch unter T^{−1} = T^{∗} invariant und somit reduzierend ist und jeden reduzierenden T -invarianten Unterraum von M enthält. M ist also in dieser Situation genau dann vollständig nicht reduzierend, wenn ⋂_{n=0}^{∞} T^{n}M = {0} gilt.

Die Menge C(𝕋) der stetigen komplexwertigen Funktionen liegt bekanntlich dicht in L^{p}(μ) für 1 ≤ p < ∞. Für p = ∞ ist dies nicht mehr richtig. Beachten wir jedoch, daß ⟨L^{1}(μ), L^{∞}(μ)⟩ ein Dualsystem bezüglich der durch

⟨f, g⟩ := ∫_{𝕋} f(z)g(z) dμ(z) (f ∈ L^{1}(μ), g ∈ L^{∞}(μ))

gegebenen kanonischen Dualität ist, so können wir noch zeigen:

Lemma 3.5. C(𝕋) liegt σ(L^{∞}(μ), L^{1}(μ))–dicht in L^{∞}(μ).

Beweis. Sei g ∈ L^{∞}(μ) beliebig. Wir müssen zeigen, daß es zu je endlich vielen f_{1}, …, f_{r} ∈ L^{1}(μ) und jedem ε > 0 eine stetige Funktion h ∈ C(𝕋) gibt mit

| ∫_{𝕋} f_{k}(z)(g(z) − h(z)) dμ(z)| < ε (k = 1, …, r).

Seien also f_{1}, …, f_{r} ∈ L^{1}(μ) und ε > 0 beliebig. Da sich jede beschränkte Borel–meßbare Funktion auf 𝕋 gleichmäßig durch Borel–meßbare Treppenfunktionen approximieren läßt, gibt es eine Treppenfunktion

h_{1} = ∑_{j=1}^{m} a_{j}χ_{E_{j}}

mit paarweise disjunkten Borelmengen E_{1}, …, E_{m}, so daß

∥g − h_{1}∥_{∞} < \frac{ε}{2 max_{1≤k≤r} ∥f∥_{1} + 1} .  (3.1)

Mit μ ∈ rca(𝕋) gilt auch μ_{f_{k}} ∈ rca(𝕋) mit μ_{f_{k}}(B) := ∫_{B} f(z) dμ(z) für alle Borelteilmengen von 𝕋. Daher gibt es kompakte Mengen K_{1}, …, K_{m} ⊂ 𝕋 und (relativ) offene Mengen U_{1}, …, U_{m} ⊂ 𝕋 mit K_{j} ⊆ E_{j} ⊆ U_{j} und

v(μ_{f_{k}}, U_{j} \ K_{j}) = ∫_{U_{j}\K_{j}} |f_{k}(z)| dμ(z) < \frac{ε}{2m(∥h_{1}∥_{∞} + 1)} (j = 1, …, m, k = 1, …, r).

(3.2)

Da die Mengen K_{1}, …, K_{m} paarweise disjunkt sind, gibt es stetige Funktionen φ_{1}, …, φ_{m} ∈ C(𝕋) mit paarweise disjunkten Trägern supp φ_{j} ⊂ U_{j} und

0 ≤ φ_{j} ≤ 1 auf 𝕋 sowie φ_{j}(z) ≡ 1 auf K_{j} (j = 1, …, m).

Die Funktion

h := ∑_{j=1}^{m} a_{j}φ_{j}

ist dann auf 𝕋 stetig und erfüllt wegen (3.1) und (3.2) für k = 1, …, r

| ∫_{𝕋} f_{k}(g − h) dμ| ≤ | ∫_{𝕋} f_{k}(g − h_{1}) dμ| + | ∫_{𝕋} f_{k}(z)(h_{1} − h) dμ|

≤ \frac{ε}{2 max_{1≤κ≤r} ∥f_{κ}∥_{1} + 1} ∫_{𝕋} |f_{k}| dμ + ∑_{j=1}^{m} |a_{j}| ∫_{𝕋} |f_{k}| · |h_{1} − h| dμ

< \frac{ε}{2} + ∥h_{1}∥_{∞} ∑_{j=1}^{m} ∫_{suppφ_{j}\K_{j}} |h_{1} − h| · |f_{k}| dμ

≤ \frac{ε}{2} + ∥h_{1}∥_{∞} ∑_{j=1}^{m} ∫_{U_{j}\K_{j}} |f_{k}| dμ < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε .

Damit folgt die Behauptung. □

Satz 3.6. {M_{g}; g ∈ L^{∞}(μ)} ist eine maximale kommutative Unteralgebra von L(L^{2}(μ)).

Beweis. Sei A ∈ L(L^{2}(μ)) beliebig mit AM_{g} = M_{g}A für alle g ∈ L^{∞}(μ). Wir müssen zeigen, daß dann schon A = M_{h} für ein h ∈ L^{∞}(μ) gilt. Für alle f ∈ L^{∞}(μ) folgt f ∈ L^{2}(μ) und

Af = A(M_{f}1) = M_{f}A(1) = A(1)f.

Da L^{∞}(μ) dicht in L^{2}(μ) liegt, genügt es zu zeigen, daß h := A(1) auf 𝕋 wesentlich beschränkt bezüglich μ ist. Wir gehen indirekt vor und nehmen an, daß dies nicht der Fall ist. Dann gilt für alle n ∈ ℕ: Es ist μ(S_{n}) > 0 mit S_{n} := {z ∈ 𝕋; |h(z)| ≥ n}. Insbesondere folgt für n → ∞:

\frac{∥Aχ_{S_{n}}∥_{2}^{2}}{∥χ_{S_{n}}∥_{2}^{2}} = \frac{∥χ_{S_{n}}h∥_{2}^{2}}{μ(S_{n})} = \frac{∫_{S_{n}} |h(z)|^{2} dμ(z)}{μ(S_{n})} ≥ \frac{n^{2}μ(S_{n})}{μ(S_{n})} = n^{2} → ∞

Im Widerspruch zur Stetigkeit von A. Also gilt doch H = A(1) ∈ L^{∞}(μ). □

Satz 3.7. Für einen abgeschlossenen Unterraum M von L^{2}(μ) sind die beiden folgenden Aussagen äquivalent:

(a) M = M_{z}M, d.h. M ist ein reduzierender M_{z}-invarianter Unterraum von L^{2}(μ).

(b) Es gibt eine Borelmenge B ⊆ 𝕋 mit

M = χ_{B}L^{2}(μ) = L^{2}(B, μ) := {f ∈ L^{2}(μ) ; f ≡ 0 μ–fast überall auf 𝕋 \ B} .

Beweis. Da die Implikation ”(b)⟹(a)” offensichtlich ist, genügt es ”(a)⟹(b)” zu zeigen. Sei also M ein abgeschlossener Unterraum von L^{2}(μ) mit M_{z}M = M. Da M_{z} unitär ist, folgt dann auch M = M_{z}^{−1}M = M_{z}^{∗}M = M\overline{z}M. Sei Q die orthogonale Projektion auf M. Dann folgt M_{z}Q = QM_{z}Q und M_{z}^{∗}Q = QM_{z}^{∗}Q und damit durch Übergang zum Adjungierten:

QM_{z} = QM_{z}Q = M_{z}Q und QM_{z}^{∗} = QM_{z}^{∗}Q = M_{z}^{∗}Q .

Q kommutiert also mit M_{z} und M_{z}^{∗} = M_{z^{−1}} und damit auch mit M_{z}^{n} = M_{z^{n}} für alle n ∈ ℤ. Da die trigonometrischen Polynome nach der trigonometrischen Variante des Approximationssatzes von Weierstraß in C(𝕋) dicht liegen folgt für alle f, g ∈ L^{2}(μ) und alle h ∈ C(𝕋):

\begin{aligned}0 = ⟨(QM_{h} − M_{h}Q)f, g⟩_{L^{2}} & = ⟨(M_{h}f, Qg⟩_{L^{2}} − ⟨M_{h}(Qf), g⟩_{L^{2}} \\ & = ∫_{𝕋} h(z)(f(z)\overline{(Qg)(z)} − (Qf)(z)\overline{g(z)}) dμ . \end{aligned}

Wegen f\overline{Qg} − (Qf)\overline{g} ∈ L^{1}(μ) und Lemma 3.5 folgt ⟨(QM_{h} − M_{h}Q)f, g⟩_{L^{2}} = 0 für alle f, g ∈ L^{2}(μ) und alle h ∈ L^{∞}(μ) und damit QM_{h} − M_{h}Q = 0 für alle h ∈ L^{∞}(μ). Nach Satz 3.6 ist Q = M_{χ} für eine Funktion χ ∈ L^{∞}(μ). Wegen Q = Q^{∗} = Q^{2} muß χ (bis auf eine μ–Nullfunktion) die charakteristische Funktion einer Borelmenge B sein. Es folgt M = QL^{2}(μ) = χ_{B}L^{2}(μ). □

Satz 3.8. Für einen abgeschlossenen Unterraum M von L^{2}(μ) sind die beiden folgenden Aussagen äquivalent:

(a) M_{z}M ⊂ M und ⋂_{n=1}^{∞} M_{z^{n}}M = {0}, d.h. M ist ein vollständig nicht reduzierender M_{z}-invarianter Unterraum von L^{2}(μ).

(b) Es gibt eine Borel–meßbare Funktion φ mit |φ|^{2}dμ = dm und M = φH^{2}(𝕋).

Beweis. (i) Ist (b) erfüllt, so wird durch f ↦ Φ(f) := φf eine lineare Isometrie von H^{2}(𝕋) auf M definiert, denn für alle f ∈ H^{2}(𝕋) gilt nach Voraussetzung (b)

∥Φ(f)∥_{L^{2}(μ)}^{2} = ∫_{𝕋} |φ(z)f(z)|^{2} dμ(z) = ∫_{𝕋} |f(z)|^{2} dm = ∥f∥_{L^{2}(𝕋)}^{2} .

Wegen M_{z}Φ(f) = Φ(M_{z}f) ∈ Φ(H^{2}(𝕋) für alle f ∈ H^{2}(𝕋) ist M = Φ(H^{2}(𝕋)) offensichtlich invariant unter M_{z}. Damit ist (a) erfüllt, denn es gilt:

⋂_{n=1}^{∞} M_{z^{n}}M = Φ( ⋂_{n=1}^{∞} M_{z^{n}}H^{2}(𝕋)) = {0} .

(ii) Sei nun umgekehrt die Bedingung (a) erfüllt. Da M_{z} ein unitärer Operator auf L^{2}(μ) ist, ist M_{z}(M) ein abgeschlossener Unterraum von M, der wegen der zweiten Bedingung in (a) von M verschieden ist. Daher ist das orthogonale Komplement L := M⊖ M_{z}(M) von M_{z}(M) in M ein abgeschlossener, vom Nullraum verschiedener Unterraum von L^{2}(μ). Da M_{z} unitär ist folgt durch vollständige Induktion M_{z^{n}}(L) = M_{z^{n}}(M) ⊖ M_{z^{n+1}}(M). Die Räume M_{z^{n}}(L) sind also paarweise zueinander orthogonal und wir können die orthogonale direkte Summe

N := ⨁_{n=0}^{∞} M_{z^{n}}(L) ⊆ M

bilden. Wegen

M ⊖ N ⊆ ⋂_{n=1}^{∞} M_{z^{n}}(M) = {0}

muß N = M gelten.

(iii) Sei nun φ ∈ L mit ∥φ∥_{L^{2}(μ)} = 1 fixiert. Dann folgt φ ∈ M_{z^{n}}(M)^{⊥}, damit insbesondere φ ⊥ e_{n}φ und somit

0 = ⟨φ, e_{n}φ⟩_{L^{2}(μ)} = ∫_{𝕋} z^{−n}|φ(z)|^{2} dμ(z)

sowie

0 = \overline{⟨φ, e_{n}φ⟩_{L^{2}(μ)}} = ⟨e_{n}φ, φ⟩_{L^{2}(μ)} = ∫_{𝕋} z^{n}|φ(z)|^{2} dμ(z)

für alle n ∈ ℕ. Beachten wir noch

1 = ⟨φ, φ⟩_{L^{2}(μ)} = ∫_{𝕋} z|φ(z)|^{2} dμ(z)

so sehen wir, daß

∀n ∈ ℤ : ∫_{𝕋} z^{n}|φ(z)|^{2} dμ(z) = ∫_{𝕋} z^{n} dm .

Da die trigonometrischen Polynome in C(𝕋) bezüglich der Supremumsnorm dicht liegen, folgt nach der Eindeutigkeitsaussage im Rieszschen Darstellungssatz (siehe z.B. [3], Satz 19.30), daß |φ|^{2} dμ = dm gelten muß.

(iv) Wir zeigen dim L = 1. Wäre dim L ≥ 2, so gäbe es ein ψ ∈ L mit ∥ψ∥_{L^{2}(μ)} = 1 und mit ψ ⊥ φ, d.h. mit

0 = ∫_{𝕋} ψ(z)\overline{φ(z)} dμ(z).

Wegen M_{z^{n}}(L) ⊥ M_{z^{m}}(L) für alle n, m ∈ ℕ_{0} mit n ≠ m folgt

0 = ∫_{𝕋} z^{n−m}ψ(z)\overline{φ(z)} dμ(z)

für alle n, m ∈ ℕ_{0}. Wieder mit der Eindeutigkeitsaussage im Rieszschen Darstellungssatz folgt (wie oben) ψ(z)\overline{φ(z)} dμ(z) = 0 und somit ψ(z)\overline{φ(z)} ≡ 0 μ-fast überall. Dies steht aber im Widerspruch zu der in (iii) gezeigten Aussage |φ|^{2} dμ = dm = |ψ|^{2} dμ. Also hat L die Dimension 1. Da Φ : f ↦ φf (wegen |φ|^{2} dμ = dm) eine Isometrie von H^{2}(𝕋) nach L^{2}(μ) ist und da die Einschränkungen auf 𝕋 der holomorphen Polynome in H^{2}(𝕋) dicht liegen, folgt: M = \overline{LH\{M_{z^{n}}φ; n ∈ ℕ_{0}\}} = \overline{\{pφ; p holomorphes Polynom\}} = Φ(H^{2}(𝕋)). □

Wir zeigen nun, daß jeder abgeschlossene M_{z}-invariante Unterraum von L^{2}(μ) eine eindeutige orthogonale Zerlegung in einen reduzierenden und einen vollständig nicht reduzierenden M_{z}-invarianten Unterraum besitzt. In Verbindung dieses Satzes mit der zuvor erhaltenen vollständigen Beschreibung aller reduzierenden und aller vollständig nicht reduzierenden M_{z}-invarianten Unterräume ergibt sich eine Charakterisierung aller abgeschlossenen, invarianten Unterräume von M_{z} in L^{2}(μ).

Satz 3.9. Jeder abgeschlossene, invariante Unterraum M von M_{z} in L^{2}(μ) besitzt eine eindeutige orthogonale Zerlegung

M = M_{1} ⊕ M_{2}

mit abgeschlossenen, invarianten Unterräumen M_{1}, M_{2}, für die gilt M_{z}(M_{1}) = M_{1} und ⋂_{n=0}^{∞} M_{z^{n}}(M_{2}) = {0}.

Beweis. Existenz der Zerlegung: Da M_{z} ein unitärer Operator ist, ist

M_{1} := ⋂_{n=0}^{∞} M_{z}^{n}(M)

ein abgeschlossener, unter M_{z} invarianter Unterraum von M mit M_{z}(M_{1}) = M_{1} (offensichtlich der größte mit dieser Eigenschaft). Wir setzen M_{2} := M ⊖ M_{1}. Sind f ∈ M_{2} und g ∈ M_{1} beliebig, so gibt es ein g_{1} ∈ M_{1} mit M_{z}g_{1} = g und es folgt

⟨g, M_{z}f⟩_{L^{2}(μ)} = ⟨M_{z}g_{1}, M_{z}f⟩_{L^{2}(μ)} = ⟨g_{1}, f⟩_{L^{2}(μ)} = 0,

da M_{z} ein unitärer Operator ist. Also ist auch M_{2} unter M_{z} invariant. Nach Definition von M_{1} folgt weiter

⋂_{n=0}^{∞} M_{z}^{n}(M_{2}) ⊆ M_{1} ∩ M_{2} = {0}.

Die Eindeutigkeitsaussage rechnet man unmittelbar nach. □

Definition 3.10. Eine Funktion φ ∈ H^{∞}(𝕋) heißt innere Funktion, falls |φ| ≡ 1 m-fast überall auf 𝕋 gilt.

Einfachste Beispiele für innere Funktionen sind die Funktionen e_{n} : z ↦ z^{n}, n ∈ ℕ_{0} und die Einschränkungen der Automorphismen der Einheitskreisscheibe auf 𝕋. Offensichtlich sind auch endliche Produkte von inneren Funktionen wieder innere Funktionen. Wir beachten auch, daß die Operatoren der Multiplikation mit inneren Funktionen auf L^{2}(𝕋) unitär und auf H^{2}(𝕋) lineare Isometrien sind.

Als Folgerung aus Satz 3.8 erhalten wir nun den klassischen Satz von Beurling.

Satz 3.11 (A. Beurling, 1949). Ist {0} ≠ M ⊆ H^{2}(𝕋) ein unter M_{z} invarianter, abgeschlossener Unterraum von H^{2}(𝕋), so ist M = M_{φ}(H^{2}(𝕋)) für eine innere Funktion φ. Die Funktion φ ist hierdurch bis auf einen konstanten Faktor vom Betrag 1 eindeutig bestimmt. Umgekehrt ist für alle inneren Funktionen φ der Raum M_{φ}(H^{2}(𝕋)) ein unter M_{z} invarianter, abgeschlossener Unterraum von H^{2}(𝕋).

Beweis. Ist φ eine innere Funktion, so ist M := M_{φ}(H^{2}(𝕋)) ein abgeschlossener, unter M_{z} invarianter Unterraum von L^{2}(𝕋) (da M_{φ} auf L^{2}(𝕋) eine Isometrie ist). Da die Einschränkungen holomorpher Polynome auf 𝕋 dicht in H^{2}(𝕋) liegen und für alle solchen Polynome p gilt: M_{φ}p = φp ∈ H^{∞}(𝕋) ⊂ H^{2}(𝕋), ist M ⊆ H^{2}(𝕋).

Sei nun umgekehrt M ein unter M_{z} invarianter, abgeschlossener Unterraum von H^{2}(𝕋). Dann erfüllt M die Voraussetzungen zu Satz 3.8 (mit μ := m). Es gibt daher ein φ ∈ M ⊆ H^{2}(𝕋) mit φH^{2}(𝕋) = M und |φ|^{2}dm = dm. Dies ist nur möglich, wenn |φ| ≡ 1 m–fast überall auf 𝕋 gilt. φ ist also eine innere Funktion.

Zur Eindeutigkeitsaussage: Ist auch θ eine innere Funktion mit M_{θ}(H^{2}(𝕋)) = M = M_{φ}(H^{2}(𝕋)), so folgt φ = M_{φ}1 = M_{θ}ψ_{1} und θ = M_{θ}1 = M_{φ}ψ_{2} mit Funktionen ψ_{1}, ψ_{2} ∈ H^{2}(𝕋). Wegen |φ| ≡ 1 ≡ |θ| m-fast überall auf 𝕋 sind ψ_{1} und ψ_{2} ebenfalls innere Funktionen. Wegen ψ_{1}(z) = \frac{θ(z)}{φ(z)} = θ(z)\overline{φ(z)} und ψ_{2}(z) = \frac{φ(z)}{θ(z)} = φ(z)\overline{θ(z)} = \overline{ψ_{1}(z)} m-fast überall sind die Funktionen ψ_{1} und ψ_{2} (bis auf eine m-Nullfunktion) auf 𝕋 konstant und vom Betrag 1. □

Der Satz von Beurling hat viele wichtige und interessante Anwendungen. Wir verwenden ihn auch im Beweis der beiden folgenden klassischen Sätze der Gebrüder F. und M. Riesz.

Satz 3.12 (F. und M. Riesz, 1916). Sei f ∈ H^{2}(𝕋) keine m-Nullfunktion. Dann ist m({z ∈ 𝕋; f(z) = 0}) = 0

Beweis. Sei B := {z ∈ 𝕋; f(z) = 0} und M := H^{2}(𝕋) ∩ χ_{𝕋\B} · L^{2}(𝕋). Dann ist M ein abgeschlossener unter M_{z} invarianter Unterraum von H^{2}(𝕋). Nach dem Satz von Beurling gibt es also eine innere Funktion θ auf 𝕋 mit M = θ · H^{2}(𝕋). Insbesondere ist θ = θ · 1 ∈ M und somit θ = χ_{𝕋\B} · θ. Wegen |θ| ≡ 1 m-fast überall muß m(B) = 0 gelten. □

Satz 3.13 (F. und M. Riesz, 1916). Sei μ ∈ rca(𝕋) mit

∀n ∈ ℕ :  ∫_{𝕋} z^{n} dμ(z) = 0.  (3.3)

Dann gibt es eine Funktion f ∈ H^{1}(𝕋) mit dμ = f dm. Insbesondere ist μ bezüglich des normalisierten Lebesguemaßes m absolutstetig.

Beweis. Der Beweis benötigt den Satz von Radon-Nykodym, auf den hier aus Zeitgründen nicht eingegangen werden kann^{1}. Nach diesem Satz gibt es eine Borel-meßbare Funktion g : 𝕋 → ℂ mit |g| ≡ 1 v(μ, ·)-fast überall, so daß

g dv(μ, ·) = dμ ,

wobei v(μ, ·) die totale Variation von μ bezeichne. Die abgeschlossene lineare Hülle M von {e_{n}; n ∈ ℕ} in dem Hilbertraum H := L^{2}(𝕋, v(μ, ·)) ist offensichtlich unter M_{z} invariant. Ferner gilt für alle n ∈ ℕ

⟨z^{n}, \overline{g}⟩_{H} = ∫_{𝕋} z^{n}g(z) dv(μ, ·) = ∫_{𝕋} z^{n} dμ(z) = 0

1Eine ausführliche Darstellung mit Beweis findet man z.B. in [39].

3.3. EIGENSCHAFTEN VON H^{∞}(𝕋) ALS BANACHALGEBRA 27

und damit \overline{g} ∈ M^{⊥}. Nach Satz 3.9 (angewendet auf v(μ, ·) anstelle von μ) besitzt M eine eindeutig bestimmte orthogonale Zerlegung M = M_{1} ⊕ M_{2} in abgeschlossene, invariante Unterräume M_{1}, M_{2} mit M_{z}M_{1} = M_{1} und ⋂_{n=0}^{∞} M_{z}^{n}(M_{2}) = {0}. M_{1} hat nach Satz 3.7 die Gestalt M_{1} = χ_{B} · L^{2}(𝕋, v(μ, ·)) mit einer Borelmenge B ⊆ 𝕋. Wegen |g|^{2} ≡ 1 fast überall bezüglich v(μ, ·) folgt

v(μ, B) = ∫_{𝕋} χ_{B}\overline{g(z)}g(z)dv(μ, z) = ⟨χ_{B}\overline{g}, \overline{g}⟩_{H} = 0

und damit M_{1} = {0} und M = M_{2}. Nach Satz 3.8 gibt es daher eine Borel–meßbare Funktion φ mit |φ|^{2} dv(μ, ·) = dm und M = φ · H^{2}(𝕋). Wegen e_{1} = id_{𝕋} ∈ M gibt es eine Funktion h ∈ H^{2}(𝕋) mit z = φ(z)h(z) für v(μ, ·)-fast alle z ∈ 𝕋. Insbesondere ist φ(z) ≠ 0 v(μ, ·)-fast überall. Daher sind v(μ, ·) und das normalisierte Lebesguenaß m gegenseitig absolutstetig und es gibt nach dem Satz von Radon und Nykodym eine Funktion f ∈ L^{1}(𝕋) mit dμ = f dm. Wegen (3.3) und nach Definition von H^{1}(𝕋) folgt f ∈ H^{1}(𝕋). □

3.3. Eigenschaften von H^{∞}(𝕋) als Banachalgebra

Nach Definition von H^{∞}(𝕋) und Satz 3.3 ist H^{∞}(𝕋) eine abgeschlossene Unteralgebra von L^{∞}(𝕋). Wir wollen einige der multiplikativen linearen Funktionale dieser Banachalgebra identifizieren.

Für Punkte w ∈ 𝔻 und Funktionen f ∈ H^{1}(𝕋) definieren wir

E_{w}(f) := ∫_{𝕋} \frac{f(ζ)}{1 − w\overline{ζ}} dm(ζ).  (3.4)

Hierdurch ist ein stetiges lineares Funktional E_{w} : H^{1}(𝕋) → ℂ auf H^{1}(𝕋) gegeben mit ∥E_{w}∥ ≤ \frac{1}{1−|w|}. Da die Räume H^{p}(𝕋) für alle p ∈ [1, ∞] in H^{1}(𝕋) enthalten sind mit stetiger Inklusion, ist dann auch (die Restriktion von) E_{w} auf allen diesen Räumen stetig. Wegen

\frac{f(ζ)}{1 − w\overline{ζ}} = ∑_{n=0}^{∞} w^{n}\overline{ζ}^{n}f(ζ)

mit absolut-gleichmäßiger Konvergenz auf allen kompakten Teilmengen von 𝔻 folgt für alle f ∈ H^{1}(𝕋), w ∈ 𝔻:

E_{w}(f) = ∑_{n=0}^{∞} w^{n} ∫_{𝕋} f(ζ)\overline{ζ^{n}} dm(ζ) = ∑_{n=0}^{∞} f̂_{n}w^{n} = P (f, w),  (3.5)

mit (bzgl. w absolut-gleichmäßiger Konvergenz auf allen kompakten Teilmengen von 𝔻, wobei das letzte Gleichheitszeichen aus Aufgabe 3.4 folgt. Ist also p(z) = ∑_{n=0}^{d} a_{n}z^{n} ein holomorphes Polynom, so folgt für alle w ∈ 𝔻:

E_{w}(p) = ∑_{n=0}^{d} a_{n}w^{n} = p(w) .

Das Funktional E_{w} ist also auf der Menge ℂ[Z] aller holomorphen Polynome multiplikativ. Wir wollen zeigen, daß E_{w} auch auf H^{∞}(𝕋) multiplikativ ist. Hierzu beweisen wir zunächst:

Lemma 3.14. Für alle f, g ∈ H^{2}(𝕋) ist fg ∈ H^{1}(𝕋) und es gilt für alle w ∈ 𝔻:

E_{w}(fg) = E_{w}(f)E_{w}(g).

Beweis. Da die holomorphen Polynome in H^{2}(𝕋) dicht liegen gibt es Folgen (p_{n})_{n=1}^{∞}, (q_{n})_{n=1}^{∞} in ℂ[Z] mit ∥f − p_{n}∥_{2} → 0 und ∥g − q_{n}∥_{2} → 0 für n → ∞. Mit der Hölderschen Ungleichung folgt

∥fg − p_{n}q_{n}∥_{1} ≤ ∥(f − p_{n})g∥_{1} + ∥p_{n}(g − q_{n})∥_{1} ≤ ∥f − p_{n}∥_{2}∥g∥_{2} + ∥p_{n}∥_{2}∥g − q_{n}∥_{n} → 0

für n → ∞. Da H^{1}(𝕋) ein abgeschlossener Unterraum von L^{1}(𝕋) ist und p_{n}q_{n} als holomorphe Polynome in H^{1}(𝕋) liegen folgt fg ∈ H^{1}(𝕋). Wegen der Stetigkeit von E_{w} auf H^{1}(𝕋) und auf H^{2}(𝕋) und der Multiplikativität von E_{w} auf ℂ[Z] folgt

E_{w}(fg) = lim_{n→∞} E_{w}(p_{n}q_{n}) = lim_{n→∞} E_{w}(p_{n})E_{w}(q_{n}) = lim_{n→∞} E_{w}(p_{n}) lim_{n→∞} E_{w}(q_{n}) = E_{w}(f)E_{w}(g).

□

Folgerung 3.15. Für alle w ∈ 𝔻 ist E_{w} ∈ Δ(H^{∞}(𝕋)) und die Abbildung w ↦ E_{w} ist eine Homöomorphie von 𝔻 (versehen mit der euklidischen Topologie) auf {E_{w}; w ∈ 𝔻} (versehen mit der von σ(H^{∞}(𝕋)′, H^{∞}(𝕋)) induzierten Topologie).

Beweis. Aus Lemma 3.14 folgt unmittelbar {E_{w}; w ∈ 𝔻} ⊆ Δ(H^{∞}(𝕋)). Für alle f ∈ H^{1}(𝕋) ist die Abbildung w ↦ E_{w}(f) holomorph, also insbesondere stetig. Also ist insbesondere w ↦ E_{w} stetig von 𝔻 nach Δ(H^{∞}(𝕋)). Wegen e_{1} = id_{𝕋} ∈ H^{∞}(𝕋) und E_{w}(e_{1}) = w ist w ↦ E_{w} offensichtlich injektiv. Sei schließlich (E_{w_{a}})_{α∈A} ein Netz in {E_{w}; w ∈ 𝔻}, welches bezüglich σ(H^{∞}(𝕋)′, H^{∞}(𝕋)) gegen E_{w} konvergiert für ein w ∈ 𝔻. Dann gilt (wegen e_{1} = id_{𝕋} ∈ H^{∞}(𝕋)) insbesondere

lim_{α} w_{α} = lim_{α} E_{w_{α}}(e_{1}) = E_{w}(e_{1}) = w .

Also ist auch die Umkehrabbildung E_{w} ↦ w stetig. □

Wir werden im folgenden 𝔻 mit seinem natürlichen Bild {E_{w}; w ∈ 𝔻} identifizieren und für die Gelfandtransformierte einer Funktion f ∈ H^{∞}(𝕋) schreiben: f̂(w) := f̂(E_{w}) = E_{w}(f) für alle w ∈ 𝔻. Auch für alle Funktionen f aus H^{1}(𝕋) schreiben wir f̂(w) statt E_{w}(f). Das tiefliegende Corona-Theorem von L. Carleson [11, 12] besagt, daß 𝔻 in Δ(H^{∞}(𝕋)) dicht liegt.^{2}

Aus dem Corona-Theorem folgt insbesondere σ_{H^{∞}(𝕋)}(h) = \overline{ĥ(𝔻)} für alle h ∈ H^{∞}(𝕋). Wir geben (R. Douglas [17] folgend) einen direkten, vom Corona-Theorem unabhängigen Beweis dieser Aussage an:

Satz 3.16. Für alle h ∈ H^{∞}(𝕋) gilt σ_{H^{∞}(𝕋)}(h) = \overline{ĥ(𝔻)}.

Beweis. Wegen σ_{H^{∞}(𝕋)}(h) = ĥ(Δ(H^{∞}(𝕋))) ⊇ ĥ(𝔻) und der Kompaktheit des Spek-

trums gilt \overline{ĥ(𝔻)} ⊆ σ_{H^{∞}(𝕋)}(h).

Sei nun λ ∈ ℂ \ \overline{ĥ(𝔻)} beliebig. Dann ist δ := dist(λ, \overline{ĥ(𝔻)}) > 0. Die durch

ψ(w) := \frac{1}{λ − ĥ(w)} (w ∈ 𝔻)

definierte Funktion ist auf 𝔻 holomorph und beschränkt durch 1/δ. Ist

ψ(w) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}w^{n} (w ∈ 𝔻)

die Taylorreihenentwicklung von ψ und 0 ≤ r < 1, so gilt

∑_{n=0}^{∞} |a_{n}|^{2}r^{2n} = ∫_{𝕋} |ψ(rz)|^{2} dm(z) ≤ \frac{1}{δ^{2}} .

2Einen einfacheren auf T. Wolff zurückgehenden Beweis findet man in [23, 32].

Insbesondere folgt ∑_{n=0}^{∞} |a_{n}|^{2} ≤ \frac{1}{δ^{2}} und ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} ist die Fourierreihe einer Funktion f ∈ H^{2}(𝕋) mit P (f, ·) = f̂ = ψ. Ist ∑_{n=0}^{∞} b_{n}z^{n} die Fourierreihe von λ − h, so ist

{ \atop (λ − h)}(w) = λ − ĥ(w) = ∑_{n=0}^{∞} b_{n}w^{n}

für alle w ∈ 𝔻. Wegen (λ − ĥ(w))ψ(w) ≡ 1 auf 𝔻 erhalten wir durch Bildung des Cauchyproduktes der beiden Potenzreihen

∑_{k=0}^{n} b_{k}a_{n−k} = \begin{cases}1 & für n = 0 \\ 0 & für n > 0. \end{cases}  (3.6)

Wegen

lim_{N→∞} ∥λ − h − ∑_{n=0}^{N} b_{n}e_{n}∥_{2} = 0 = lim_{N→∞} ∥f − ∑_{n=0}^{N} a_{n}e_{n}∥_{2}

folgt (λ − h)f ∈ H^{1}(𝕋) (siehe Lemma 3.14) und

lim_{N→∞} ∥(λ − h)f − ( ∑_{k=0}^{N} b_{k}e_{k})( ∑_{j=0}^{N} a_{j}e_{j})∥_{1} = 0.

Durch Ausmultiplizieren folgt unter Verwendung von (3.6)

lim_{N→∞} ∥(λ − h)f − 1 − ∑_{n=N}^{2N} c_{n}^{(N)}e_{n}∥_{1} = 0 ,

wobei

c_{n}^{(N)} := ∑_{k=n−N}^{N} b_{k}a_{n−k} (N ∈ ℕ, n = N + 1, …, 2N).

Insbesondere gilt

∫_{𝕋}(λ − h(z))f(z)z^{k} dm(z) = \begin{cases}1 & für k = 0 \\ 0 & für k ≠ 0 . \end{cases}

Nach dem Eindeutigkeitssatz für Fourierreihen von L^{1}(𝕋)-Funktionen (siehe z.B. [31]) folgt (λ − h)f ≡ 1 m–fast überall. Wegen lim_{r→1^{−}} ∥f − P (f, r·)∥_{2} = 0 und |P (f, rz)| = |ψ(rz)| ≤ δ^{−2} muß auch |f| ≤ δ^{−2} m-fast überall auf 𝕋 gelten. Also ist die Funktion f ∈ H^{2}(𝕋) ∩ L^{∞}(𝕋) = H^{∞}(𝕋) invers zu λ − h in H^{∞}(𝕋) und es folgt λ ∈ ρ_{H^{∞}(𝕋)}(h). □

3.4. Äußere Funktionen

Für f ∈ H^{2}(𝕋) sei

M_{f} := \overline{\{pf ; p ∈ ℂ[Z]\}}^{∥·∥_{2}} .

Dies ist offensichtlich der kleinste, f enthaltende, abgeschlossene, invariante Unterraum von M_{z} in H^{2}(𝕋). Wir nennen f eine äußere Funktion, falls M_{f} = H^{2}(𝕋) gilt.

Satz 3.17. Eine Funktion f ∈ H^{∞}(𝕋) ist genau dann invertierbar in H^{∞}(𝕋), wenn sie in L^{∞}(𝕋) invertierbar ist und eine äußere Funktion ist.

Beweis. Ist f in H^{∞}(𝕋) invertierbar, so ist 1/f in H^{∞}(𝕋) also insbesondere mwesentlich beschränkt auf 𝕋 und somit invers zu f in L^{∞}(𝕋). Also ist der Multiplikationsoperator M_{f} auf L^{2}(𝕋) invertierbar und es gilt

M_{f} = \overline{M_{f}(ℂ[Z])} = M_{f}(H^{2}(𝕋)) ⊇ M_{f}(M_{1/f}(H^{2}(𝕋))) = H^{2}(𝕋).

Dies zeigt, daß f eine äußere Funktion ist.

Sei nun f eine in L^{∞}(𝕋) invertierbare äußere Funktion aus H^{∞}(𝕋). Insbesondere ist M_{f} auf L^{2}(𝕋) invertierbar. Dann ist fH^{2}(𝕋) = M_{f}(H^{2}(𝕋)) in L^{2}(𝕋) und also auch in H^{2}(𝕋) abgeschlossen und offensichtlich unter M_{z} invariant. Da f eine äußere Funktion ist folgt fH^{2}(𝕋) = M_{f} = H^{2}(𝕋). Insbesondere existiert eine Funktion g ∈ H^{2}(𝕋) mit fg = 1 und es folgt g = 1/f ∈ L^{∞}(𝕋) ∩ H^{2}(𝕋) = H^{∞}(𝕋). f ist also in H^{∞}(𝕋) invertierbar. □

Wir zeigen nun, daß jede nicht identisch verschwindende Funktion aus H^{2}(𝕋) ein Produkt aus einer inneren und einer äußeren Funktion ist.

Satz 3.18. Ist 0 ≠ f ∈ H^{2}(𝕋), so gibt es eine innere Funktion θ und eine äußere Funktion g mit f = θg. Es ist dann f ∈ H^{∞}(𝕋) genau dann, wenn g ∈ H^{∞}(𝕋) gilt.

Beweis. Nach dem Satz von Beurling ist M_{f} = θH^{2}(𝕋) mit einer inneren Funktion θ. Insbesondere gibt es eine Funktion g ∈ H^{2}(𝕋) mit f = θg. Auch zu M_{g} gibt es nach dem Satz von Beurling eine innere Funktion θ_{0} mit M_{g} = θ_{0}H^{2}(𝕋). Da M_{θ} auf L^{2}(𝕋) invertierbar ist, folgt

θθ_{0}H^{2}(𝕋) = M_{θ}(M_{g}) = M_{θ}(\overline{gℂ[Z]}) = \overline{θgℂ[Z]} = M_{f} = θH^{2}(𝕋) .

Es gibt daher eine Funktion h ∈ H^{2}(𝕋) mit θ = θθ_{0}h. Da θ eine innere Funktion ist, folgt 1 = θ_{0}h. Da auch θ_{0} eine innere Funktion ist, ergibt sich weiter

\overline{θ_{0}} = h ∈ H^{2}(𝕋) ∩ L^{∞}(𝕋) = H^{∞}(𝕋).

Nach Satz 3.1 muß θ_{0} konstant sein (vom Betrag 1, da θ_{0} innere Funktion ist). Es folgt

H^{2}(𝕋) = θ_{0}H^{2}(𝕋) = M_{g} .

Daher ist g eine äußere Funktion.

Wegen |f| = |θg| = |g| ist f ∈ H^{∞}(𝕋) genau dann, wenn g ∈ H^{∞}(𝕋). □

Satz 3.19. Seien f, g ∈ H^{2}(𝕋), g eine äußere Funktion. Dann sind die beiden folgenden Aussagen äquivalent:

(a) |f| ≤ |g| m-fast überall auf 𝕋.

(b) Es gibt eine Funktion h ∈ H^{2}(𝕋) mit f = gh und |h| ≤ 1 m-fast überall auf 𝕋.

Beweis. Die Implikation (b)⟹(a) ist offensichtlich. Sei nun (a) erfüllt. Da g eine äußere Funktion ist, gibt es eine Folge (p_{n})_{n=1}^{∞} in ℂ[Z] mit ∥1 − gp_{n}∥_{2} → 0 für n → ∞. Wegen |f| ≤ |g| folgt für alle n, m ∈ ℕ

∥fp_{n} − fp_{m}∥_{2}^{2} = ∫_{𝕋} |p_{n} − p_{m}|^{2}|f|^{2} dm ≤ ∫_{𝕋} |p_{n} − p_{m}|^{2}|g|^{2} dm = ∥gp_{n} − gp_{m}∥_{2}^{2} .

Daher ist mit (gp_{n})_{n=1}^{∞} auch die Folge (fp_{n})_{n=1}^{∞} eine Cauchy–Folge in H^{2}(𝕋) und somit konvergent bezüglich ∥ · ∥_{2} gegen eine Funktion h ∈ H^{2}(𝕋). Mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt

∥gh − f∥_{1} = lim_{n→∞} ∥gh − gp_{n}f∥_{1} ≤ lim_{n→∞} ∥g∥_{2}∥h − p_{n}f∥_{2} = 0.

also ist gh = f. □

Folgerung 3.20. Sind f, g ∈ H^{2}(𝕋) zwei äußere Funktionen mit |f| = |g| m-fast überall, so gibt es eine Konstante λ vom Betrag 1 mit f = λg m-fast überall.

Beweis. Nach Satz 3.19 gibt es zwei Funktionen h_{1}, h_{2} ∈ H^{2}(𝕋) mit |h_{1}| ≤ 1, |h_{2}| ≤ 1 und h_{1}f = g, h_{2}g = f m-fast überall. Es folgt h_{1}h_{2}g = g m-fast überall. Da g keine m-Nullfunktion ist gilt g ≠ 0 m-fast überall auf 𝕋 nach Satz 3.12 und es folgt h_{1}h_{2} = 1 m-fast überall und somit |h_{1}| = |h_{2}| = 1 und \overline{h_{1}} = h_{2} m-fast überall. Nach Folgerung 3.2 muß h_{1} (und damit auch h_{2}) konstant vom Betrag 1 sein. □

Wir wollen nun die Frage untersuchen: Für welche Funktionen f ∈ L^{2}(𝕋) gibt es eine äußere Funktion g ∈ H^{2}(𝕋) mit |f| = |g| m-fast überall?

Satz 3.21. Für f ∈ L^{2}(𝕋) sind die beiden folgenden Aussagen äquivalent:

(a) Es gibt eine äußere Funktion g ∈ H^{2}(𝕋) mit |f| = |g| m-fast überall.

(b) N_{f} := \overline{fℂ[Z]} ist ein vollständig nicht reduzierender M_{z}-invarianter Unterraum.

Beweis. Ist (a) erfüllt, so folgt nach dem Satz 3.12 von F. und M. Riesz |f| = |g| ≠ 0 m-fast überall und somit f = ug mit einer Funktion u mit |u| = 1 m-fast überall. Es folgt

N_{f} = \overline{ugℂ[Z]} = u\overline{gℂ[Z]} = uM_{g} = uH^{2}(𝕋) .

Nach Satz 3.8 ist N_{f} vollständig nicht reduzierend.

Sei nun N_{f} ein vollständig nicht reduzierender M_{z}-invarianter Unterraum. Nach Satz 3.8 (angewendet mit μ = m) gibt es eine Borel-meßbare Funktion φ mit |φ|^{2} dm = dm, also insbesondere mit |φ| = 1 m-fast überall, so daß N_{f} = φH^{2}(𝕋). Wegen f ∈ N_{f} gibt es also ein g ∈ H^{2}(𝕋) mit f = φg. Nach dem Faktorisierungssatz 3.18 gibt es eine innere Funktion θ und eine äußere Funktion h mit g = θh. Insbesondere folgt |f| = |φ| · |θ| · |g| = |g| m-fast überall. (a) ist also erfüllt. □

Folgerung 3.22. Ist f ∈ L^{2}(𝕋) mit ε ≤ |f| m-fast überall für eine Konstante ε > 0, so gibt es eine äußere Funktion g ∈ H^{2}(𝕋) mit |f| = |g| m-fast überall.

Beweis. Nach Satz 3.21 genügt es zu zeigen, daß N_{f} vollständig nicht reduzierend ist. Nach Satz 3.9 besitzt N_{f} eine eindeutige orthogonale Zerlegung N_{f} = M_{0}⊕M_{1} mit einem reduzierenden M_{z}-invarianten Unterraum M_{1} und einem vollständig nicht reduzierenden M_{z}-invarianten Unterraum M_{0}.

Annahme: M_{1} ≠ {0}. Dann gibt es nach Satz 3.7 eine Borelmenge B ⊆ 𝕋 mit m(B) ≠ 0 und M_{1} = χ_{B}L^{2}(𝕋). Wegen χ_{B} ∈ N_{f} gibt es eine Folge (p_{n})_{n=0}^{∞} von holomorphen Polynomen mit ∥fp_{n} − χ_{B}∥_{2} → 0 für n → ∞. Wegen 1/f ∈ L^{∞}(𝕋) existiert dann auch der Grenzwert χ_{B}/f = lim_{n→∞} p_{n} in L^{2}(𝕋). Insbesondere folgt 0 ≠ χ_{B}/f ∈ H^{2}(𝕋) und daher nach Satz 3.12 m(𝕋 \ B) = 0, d.h. χ_{B} = 1. Es folgt N_{f} = L^{2}(𝕋) = M_{1}.

Sei nun p ein beliebiges holomorphes Polynom. Dann folgt mit Pythagoras

∥f − e_{1}fp∥_{2}^{2} = ∫_{𝕋} |f|^{2}|1 − zp(z)|^{2} dm(z) ≥ ε^{2}∥1 − e_{1}p∥_{2}^{2} = ε^{2} (1 + ∥e_{1}p(z)∥_{2}^{2}) ≥ ε^{2}.

Also ist f ∉ M_{z}(N_{f}), d.h. M_{z}(N_{f}) ≠ N_{f} im Widerspruch dazu, daß N_{z} = M_{0} reduzierender M_{z}-invarianter Unterraum von L^{2}(𝕋) ist. Da die Annahme zu einem Widerspruch geführt hat, muß N_{f} = M_{0} gelten und N_{f} ein vollständig nicht reduzierender M_{z}-invarianter Unterraum von L^{2}(𝕋) sein. □

Wir geben noch einige Folgerungen für den Hardyraum H^{1} an:

Folgerungen 3.23. Für alle f ∈ H^{1}(𝕋) gilt:

(a) Es gibt eine Funktion g ∈ H^{2}(𝕋) mit |f| = |g|^{2} m-fast überall.

(b) Es gibt Funktionen g_{1}, g_{2} ∈ H^{2}(𝕋) mit |g_{1}| = |g_{2}| = |f|^{\frac{1}{2}} und f = g_{1}g_{2} m-fast überall.

Beweis. (a) Ist f eine m-Nullfunktion, so leistet g ≡ 0 das gewünschte. Sei nun 0 ≠ f ∈ H^{1}(𝕋). Dann ist h := |f|^{\frac{1}{2}} ∈ L^{2}(𝕋). Wir zeigen durch einen indirekten Beweis, daß M := \overline{hℂ[Z]}^{∥·∥_{2}} ein vollständig nicht reduzierender M_{z}-invarianter Unterraum in L^{2}(𝕋) ist:

Annahme: Dies ist nicht der Fall, d.h. es gilt (nach Satz 3.9) M = M_{1} ⊕ M_{2} mit einem vollständig nicht reduzierendem M_{z}-invarianten Unterraum M_{2} und mit

M_{1} := ⋂_{n=1}^{∞} M_{z}^{n}(M) ≠ {0} .

Dann ist e_{−n}h = M_{z}^{−n}h ∈ M_{1} ⊆ M = \overline{hℂ[Z]}^{∥·∥_{2}} für alle n ∈ ℕ. Daher gibt es eine Folge (p_{k})_{k=1}^{∞} von holomorphen Polynomen mit ∥p_{k}h − e_{−n}h∥_{2} → 0 für k → ∞. Wegen

\begin{aligned}∥∥p_{k}h − e_{−n}h∥_{2}^{2} & = ∫_{𝕋} |h^{2}e_{−2n} − h^{2}(2p_{n}e_{−n} − p_{n}^{2})| dm = ∫_{𝕋} |h^{2}e_{−n} − h^{2}(2p_{n} − p_{n}^{2}e_{n})| dm \\ & = ∥h^{2}e_{−n} − h^{2}(2p_{n} − p_{n}^{2}e_{n})∥_{1} \end{aligned}

liegt h^{2}e_{−n} also in \overline{h^{2}ℂ[Z]}^{∥·∥_{1}}. Wegen |f| = h^{2} gibt es eine Funktion u mit |u| = 1 m-fast überall und uh^{2} = f m-fast überall. Es folgt daher für alle n ∈ ℕ:

e_{−n}f = uh^{2}e_{n} ∈ M_{u}\overline{h^{2}ℂ[Z]}^{∥·∥_{1}} = \overline{uh^{2}ℂ[Z]}^{∥·∥_{1}} = \overline{fℂ[Z]}^{∥·∥_{1}} ⊆ H^{1}(𝕋) .

Dies ist nur möglich für f ≡ 0 im Widerspruch zu 0 ≠ f ∈ H^{1}(𝕋). Also ist M vollständig nicht reduzierend und nach Satz 3.21 gibt es eine äußere Funktion g ∈ H^{2}(𝕋) mit |g| = h und also auch |g|^{2} = |f| m-fast überall.

(b) Ist f eine Nullfunktion, so ist die Behauptung trivial, im anderen Fall gibt es nach dem Beweis zu (a) eine äußere Funktion g ∈ H^{2}(𝕋) mit |g|^{2} = |f| m-fast überall und es ist \overline{gℂ[Z]} = H^{2}(𝕋). Insbesondere gibt es dann eine Folge (p_{k})_{k=1}^{∞} holomorpher Polynome mit ∥p_{k}g − 1∥_{2} → 0 für k → ∞. Wegen

\begin{aligned}∥fp_{k}^{2} − fp_{j}^{2}∥_{1} & ≤ ∥f(p_{k} − p_{j})p_{k}∥_{1} + ∥f(p_{k} − p_{j})p_{j}∥_{1} \\ & ≤ ∥gp_{k}∥_{2}∥g(p_{k} − p_{j})∥_{2} + ∥gp_{j}∥_{2}∥g(p_{k} − p_{j})∥_{2} \end{aligned}

ist die Folge (fp_{k})_{k=1}^{∞} also eine Cauchyfolge in (H^{1}(𝕋), ∥·∥_{1}) und somit gegen eine Funktion v ∈ H^{1}(𝕋) konvergent. Indem wir notfalls zu einer Teilfolge übergehen, können wir daher annehmen, daß fp_{k}(z)^{2} → v(z) und g(z)p_{k}(z) → 1 für k → ∞ für m-fast alle z ∈ 𝕋 gilt. Es folgt vg^{2} = f und wegen |g^{2}| = |f| auch |v| = 1 m-fast überall. v ist also eine innere Funktion und die Funktionen g_{1} := vg, g_{2} := g sind in H^{2}(𝕋) mit f = g_{1}g_{2} und |g_{1}| = |g_{2}| = |f|^{\frac{1}{2}} m-fast überall. □

Folgerung 3.24. Die holomorphen Polynome liegen dicht in (H^{1}(𝕋), ∥ · ∥_{1}).

Beweis. Nach Folgerung 3.23 (b) gibt es g_{1}, g_{2} ∈ H^{2}(𝕋) mit g_{1}g_{2} = f m-fast überall. Da die holomorphen Polynome in H^{2}(𝕋) dicht liegen gibt es zwei Folgen (p_{k})_{k=1}^{∞} und (q_{k})_{k=1}^{∞} holomorpher Polynome mit ∥g_{1} − p_{k}∥_{2} → 0 und ∥g_{2} − q_{k}∥_{2} → 0 für k → ∞. Dann ist auch (p_{k}q_{k})_{k=1}^{∞} eine Folge holomorpher Polynome und es gilt

∥f − p_{k}q_{k}∥_{1} ≤ ∥g_{1}g_{2} − g_{1}q_{k}∥_{1} + ∥g_{1}q_{k} − p_{k}q_{k}∥_{1} ≤ ∥g_{1}∥_{2}∥g_{2} − q_{k}∥_{2} + ∥g_{1} − p_{k}∥_{2}∥q_{k}∥_{2} → 0

für k → ∞. □

Die beiden folgenden Aussagen werden für das nachfolgende Kapitel über Toeplitzoperatoren bereitgestellt.

Satz 3.25. Die Menge

Q := \{\overline{θ}f ; f ∈ H^{∞}(𝕋), θ innere Funktion\}

ist eine Algebra, welche in L^{∞}(𝕋) dicht liegt.

Beweis. Seien θ_{1}, θ_{2} innere Funktionen und f_{1}, f_{2} ∈ H^{∞}(𝕋). Dann ist auch θ_{1}θ_{2} eine innere Funktion und f_{1}f_{2} sowie θ_{2}f_{1} + θ_{1}f_{2} sind in H^{∞}(𝕋). Also folgt

(\overline{θ_{1}}f_{1})(\overline{θ_{2}}f_{2}) = \overline{θ_{1}θ_{2}}f_{1}f_{2} ∈ Q , \overline{θ_{1}}f_{1} + \overline{θ_{2}}f_{2} = \overline{θ_{1}θ_{2}}(θ_{2}f_{1} + θ_{1}f_{2}) ∈ Q ,

d.h. Q ist eine Unteralgebra von L^{∞}(𝕋).

Um die Dichtheit von Q in L^{∞}(𝕋) zu beweisen, genügt es zu zeigen, daß der Abschluß von Q alle charakteristischen Funktionen von Borelmengen in 𝕋 enthält. Sei also B ⊆ 𝕋 eine Borelmenge. Nach Satz 3.22 gibt es eine Funktion f ∈ H^{2}(𝕋) mit

|f(z)| = \begin{cases}\frac{1}{2} & für z ∈ B \\ 2 & für z ∈ 𝕋 \ B . \end{cases}

Da f auf 𝕋 beschränkt ist, folgt f ∈ H^{∞}(𝕋) und somit auch 1 + f^{n} ∈ H^{∞}(𝕋) für alle n ∈ ℕ. Nach dem Faktorisierungssatz 3.18 gibt es also innere Funktionen θ_{n} und äußere Funktionen g_{n} ∈ H^{∞}(𝕋) mit

1 + f^{n} = θ_{n}g_{n} für alle n ∈ ℕ .

Wegen |g_{n}| = |1+f^{n}| ≥ 1−|f|^{n} ≥ \frac{1}{2} sind alle g_{n} in L^{∞}(𝕋) invertierbar, also nach Satz 3.17 auch in H^{∞}(𝕋) invertierbar und wir erhalten

\frac{1}{1 + f^{n}} = \overline{θ_{n}} · \frac{1}{g_{n}} ∈ Q.

Wegen

∥\frac{1}{1 + f^{n}} − χ_{B}∥_{∞} → 0 für n → ∞

folgt daher χ_{B} ∈ \overline{Q}^{∥·∥_{∞}}. □

Lemma 3.26. Sei Ω ⊆ ℂ offen und F ∈ O(Ω × 𝔻). Ist G ⊂ ℂ ein beschränktes Gebiet mit \overline{G}^{ℂ} ⊂ Ω und gibt es eine auf ∂G stetige H^{2}(𝕋)-wertige Funktion λ ↦ f_{λ} mit f̂_{λ}(z) = F (λ, z) für alle λ ∈ ∂G und alle z ∈ 𝔻, so gibt es eine auf ganz G holomorphe H^{2}(𝕋)–wertige Funktion λ ↦ f_{λ} mit f̂_{λ}(z) = F (λ, z) für alle λ ∈ G, z ∈ 𝔻 und es gilt ∥f_{λ}∥_{2} ≤ sup_{μ∈∂G} ∥f_{μ}∥_{2} für alle λ ∈ G.

Beweis. Wegen der Holomorphie von F auf G × 𝔻 ist für alle k ∈ ℕ_{0} die komplexwertige Funktion

a_{k} : G → ℂ, μ ↦ a_{k}(μ) := \frac{1}{k!} \frac{∂^{k}F}{∂z^{k}} (μ, 0),

auf Ω holomorph und es gilt für alle z ∈ 𝔻

F (μ, z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z)z^{n}.

Nach Voraussetzung gilt weiter

∀λ ∈ ∂G : f_{λ} = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(λ)e_{n}

Sei nun h = ∑_{n=0}^{∞} ĥ_{n}e_{n} ∈ H^{2}(𝕋) beliebig und N ∈ ℕ. Dann ist die komplexwertige Funktion

μ ↦ ⟨ ∑_{n=0}^{N} a_{n}(μ)e_{n}, h⟩ = ∑_{n=0}^{N} a_{n}(μ)\overline{ĥ_{n}}

auf Ω holomorph und nach der globalen Fassung des Maximumprinzips gilt

sup_{μ∈G} |⟨ ∑_{n=0}^{N} a_{n}(μ)e_{n}, h⟩| ≤ max_{λ∈∂G} |⟨ ∑_{n=0}^{N} a_{n}(λ)e_{n}, h⟩|

≤ max_{λ∈∂G} ∥ ∑_{n=0}^{N} a_{n}(λ)e_{n}∥_{2}∥h∥_{2} ≤ max_{λ∈∂G} ∥f_{λ}∥_{2}∥h∥_{2}

(3.7)

Also folgt für alle N ∈ ℕ:

max_{λ∈∂G} ( ∑_{n=0}^{N} |a_{n}(λ)|^{2})^{\frac{1}{2}} ≤ max_{λ∈∂G} ∥f_{λ}∥_{2}

und damit f_{λ} := ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(λ)e_{n} ∈ H^{2}(𝕋) für alle λ ∈ G sowie ∥f_{λ}∥_{2} ≤ sup_{μ∈∂G} ∥f_{μ}∥_{2} für alle λ ∈ G. Insbesondere gilt f̂_{μ}(z) = F (μ, z) für alle μ ∈ G, z ∈ 𝔻. Für alle μ ∈ G, h ∈ H^{2}(𝕋) gilt ferner

⟨ ∑_{n=0}^{N} a_{n}(μ)e_{n}, h⟩ → ⟨f_{μ}, h⟩ für n → ∞.

Da die Folge der Funktionen μ ↦ ⟨ ∑_{n=0}^{N} a_{n}(μ)e_{n}, h⟩ wegen (3.7) auf G gleichmäßig beschränkt ist, folgt nach einer Folgerung aus dem Satz von Montel (siehe z.B. Aufgabe 4.9 in [2]) die Holomorphie von μ ↦ ⟨f_{μ}, h⟩ auf G. Da jede schwach holomorphe Funktion auch stark holomorph ist (siehe z.B. [3], Satz 20.7), folgt die Holomorphie der H^{2}(𝕋)– wertigen Funktion μ ↦ f_{μ} auf G. □

3.5. Dualitätsaussagen

Wir verwenden die Tatsache daß durch die Abbildung Φ : L^{∞}(𝕋) → L^{1}(𝕋)′, f ↦ Φ(f), mit

Φ(f)(g) := ∫_{𝕋} f(z)g(z) dμ(z) (f ∈ L^{∞}(𝕋), g ∈ L^{1}(𝕋))

ein isometrischer Isomorphismus von L^{∞}(𝕋) auf L^{1}(𝕋)′ gegeben ist. Die Dualräume zu den abgeschlossenen Unterräumen H^{1}(𝕋) und H_{0}^{1}(𝕋) sind somit isometrisch isomorph zu L^{∞}(𝕋)/Φ^{−1}(H^{1}(𝕋)^{∘}) und L^{∞}(𝕋)/Φ^{−1}(H_{0}^{1}(𝕋)^{∘}). Dies können wir noch präzisieren:

Satz 3.27. Der topologische Dualraum von H^{1}(𝕋) (bzw. H_{0}^{1}(𝕋)) ist in kanonischer Weise isometrisch isomorph zu L^{∞}(𝕋)/H_{0}^{∞}(𝕋) (bzw. zu L^{∞}(𝕋)/H^{∞}(𝕋)).

Beweis. Zu zeigen ist also

H_{0}^{∞}(𝕋) = Φ^{−1}(H^{1}(𝕋)^{∘}) = {h ∈ L^{∞}(𝕋) ; ∀f ∈ H^{1}(𝕋) : ∫_{𝕋} f(z)h(z) dm(z) = 0} (3.8)

bzw.

H^{∞}(𝕋) = Φ^{−1}(H_{0}^{1}(𝕋)^{∘}) = {h ∈ L^{∞}(𝕋) ; ∀f ∈ H_{0}^{1}(𝕋) : ∫_{𝕋} f(z)h(z) dm(z) = 0}

Wegen H_{0}^{1}(𝕋) = e_{1}H^{1}(𝕋) und H_{0}^{∞}(𝕋) = e_{1}H^{∞}(𝕋) genügt es, die erste Aussage zu beweisen.

Ist h ∈ Φ^{−1}(H^{1}(𝕋)^{∘}), so gilt insbesondere

∀n ∈ ℕ_{0} :  ∫_{𝕋} h(z)z^{n} dm(z) = 0  (3.9)

und somit ĥ_{n} = 0 für alle n ∈ ℕ_{0}, d.h. h ∈ H_{0}^{∞}(𝕋).

Ist umgekehrt h ∈ H_{0}^{∞}(𝕋), so folgt (3.9) und daher

∫_{𝕋} h(z)p(z) dm(z) = 0

für alle holomorphen Polynome p. Da diese nach Folgerung 3.24 in H^{1}(𝕋) dicht liegen und die Linearform f ↦ ∫_{𝕋} h(z)f(z) dm(z) stetig bezüglich der Norm ∥ · ∥_{1} ist, folgt ∫_{𝕋} h(z)f(z) dm(z) = 0 für alle f ∈ H^{1}(𝕋). Damit ist (3.8) bewiesen. □

Die Menge

A(𝕋) := {f ∈ C(𝕋) ; ∀n ∈ ℕ : f̂_{−n} = 0 }

ist eine bezüglich der Norm ∥·∥_{∞} abgeschlossene Unteralgebra von H^{∞}(𝕋) und von C(𝕋).

In den Übungen wird gezeigt, daß L^{1}(𝕋) nicht isometrisch isomorph zum Dualraum eines Banachraums sein kann. Für den abgeschlossenen Unterraum H_{0}^{1}(𝕋) von L^{1}(𝕋) gilt dies nicht.

Satz 3.28. Der topologische Dualraum von C(𝕋)/A(𝕋) ist in kanonischer Weise isometrisch isomorph zu H_{0}^{1}(𝕋).

Beweis. Für alle h ∈ H_{0}^{1}(𝕋) ist das durch

ϕ_{h}(f) := ∫_{𝕋} f(z)h(z) dm(z) (f ∈ C(𝕋))

definierte lineare Funktional ϕ_{h} : C(𝕋) → ℂ stetig mit ϕ_{h}(f) = 0 für alle f ∈ A(𝕋). Durch

Φ_{h}(f + A(𝕋)) := ∫_{𝕋} f(z)h(z) dm(z) (f + A(𝕋) ∈ C(𝕋)/A(𝕋))

ist also ein wohldefiniertes stetiges lineares Funktional auf C(𝕋)/A(𝕋) gegeben mit ∥Φ_{h}∥ ≤ ∥h∥_{1}. Ist umgekehrt φ ein stetiges lineares Funktional auf C(𝕋)/A(𝕋) und bezeichnet π : C(𝕋) → C(𝕋)/A(𝕋) den kanonischen Epimorphismus, so ist φ ∘ π ∈ C(𝕋)′. Nach dem Rieszschen Darstellungssatz (siehe z.B. [3], Satz 19.30) gibt es also ein μ ∈ rca(𝕋) mit ∥φ ∘ π∥ = ∥μ∥ und φ(f + A(𝕋)) = (φ ∘ π)(f) = ∫_{𝕋} f(z) dμ(z) für alle f ∈ C(𝕋). Insbesondere folgt ∫_{𝕋} z^{n} dμ(z) = 0 für alle n ∈ ℕ_{0}. Nach dem Satz von F. und M. Riesz 3.13 gibt es daher eine Funktion h ∈ H^{1}(𝕋) mit dμ = h dm. Insbesondere ist ∥φ∥ ≥ ∥φ ∘ π∥ = ∥μ∥ = ∥h∥_{1} und

φ(f + A(𝕋)) = ∫_{𝕋} f(z)h(z) dm(z)

für alle f + A(𝕋) ∈ C(𝕋)/A(𝕋). Wegen e_{0} ∈ A(𝕋) folgt

0 = φ(e_{0} + A(𝕋)) = ∫_{𝕋} e_{0}(z)h(z) dm(z) = ĥ_{0}

und damit h ∈ H_{0}^{1}(𝕋). Die Abbildung h ↦ Φ_{h} ist also ein isometrischer Isomorphismus von H_{0}^{1}(𝕋) auf (C(𝕋)/A(𝕋))′. □

Da wir den Dualraum von H_{0}^{1}(𝕋) schon kennen erhalten wir unmittelbar:

Folgerung 3.29. (C(𝕋)/A(𝕋))′′ ist kanonisch isometrisch isomorph zu L^{∞}(𝕋)/H^{∞}(𝕋). Der kanonischen isometrischen Einbettung von C(𝕋)/A(𝕋) in seinen Bidualraum entspricht hierbei die kanonische Einbettung J : C(𝕋)/A(𝕋) → L^{∞}(𝕋)/H^{∞}(𝕋), f + A(𝕋) ↦ f + H^{∞}(𝕋).

Insbesondere ist also ran(J) = (C(𝕋) + H^{∞}(𝕋))/H^{∞}(𝕋) ein abgeschlossener Unterraum von L^{∞}(𝕋)/H^{∞}(𝕋). Daher gilt:

Folgerung 3.30. C(𝕋)+H^{∞}(𝕋) ist ein abgeschlossener Untervektorraum von L^{∞}(𝕋).

Auch H^{∞}(𝕋) ist ein dualer Banachraum (siehe Aufgabe 3.15).

3.6. Douglas-Algebren

In diesem Abschnitt geht es um abgeschlossene Unteralgebren 𝔄 von L^{∞}(𝕋), die H^{∞}(𝕋) enthalten.

Die Menge S_{i}(𝕋) aller inneren Funktionen aus H^{∞}(𝕋) ist - versehen mit der Multiplikation als Verknüpfung eine Halbgruppe mit Einselement e_{0} ≡ 1. Ist S eine Unterhalbgruppe von S_{i}(𝕋), so sind Produkte von Funktionen aus

D_{0}(S) := \{h/u; h ∈ H^{∞}(𝕋) , u ∈ S\} = \{h\overline{u}; h ∈ H^{∞}(𝕋) , u ∈ S\}

offensichtlich offensichtlich wieder Elemente von D_{0}(S). D_{0}(S) ist auch eine Unteralgebra von L^{∞}(𝕋), denn für alle h_{1}, h_{2} ∈ H^{∞}(𝕋), u_{1}, u_{2} ∈ S ist h_{1}u_{2} + h_{2}u_{1} ∈ H^{∞}(𝕋), u_{1}u_{2} ∈ S und somit

\frac{h_{1}}{u_{1}} + \frac{h_{2}}{u_{2}} = \frac{h_{1}u_{2} + h_{2}u_{1}}{u_{1}u_{2}} ∈ D_{0}(S).

Wir nennen D(S) := \overline{D_{0}(S)}^{∥·∥_{∞}} die zu S gehörige Douglas-Algebra. Dies ist offensichtlich die kleinste abgeschlossene Unteralgebra von L^{∞}(𝕋), die H^{∞}(𝕋) und \{\overline{u}; u ∈ S\} enthält. Der Satz von Chang und Marschall besagt, daß jede abgeschlossene H^{∞}(𝕋) enthaltende Unteralgebra von L^{∞}(𝕋) von dieser Gestalt ist^{3}.

Nach Satz 3.25 stimmt L^{∞}(𝕋) mit D(S_{i}(𝕋)) überein und ist damit die größtmögliche Douglas-Algebra. Für S_{0} := {1} findet man D(S_{0}) = H^{∞}(𝕋). Für S_{e} := {e_{n}; n ∈ ℕ_{0}} erhält man:

Satz 3.31. D(S_{e}) = H^{∞}(𝕋) + C(𝕋). Insbesondere ist H^{∞}(𝕋) + C(𝕋) eine Banachalgebra.

Beweis. Ist f = h/e_{n} ∈ D_{0}(S_{e}) beliebig mit h ∈ H^{∞}(𝕋), n ∈ ℕ_{0}, so folgt f = h_{1} + g mit

h_{1} := e_{−n}(h − ∑_{k=0}^{n} ĥ_{k}e_{k}) ∈ H^{∞}(𝕋) , g := ∑_{k=0}^{n} ĥ_{k}e_{k−n} ∈ C(𝕋) .

Da H^{∞}(𝕋)+C(𝕋) nach Folgerung 3.30 abgeschlossen ist in L^{∞}(𝕋), folgt D(S_{e}) ⊆ H^{∞}(𝕋)+ C(𝕋). Wegen H^{∞}(𝕋) ∪ {e_{k}; k ∈ ℤ} ⊂ D(𝕋) ist umgekehrt für alle h ∈ H^{∞}(𝕋) und alle trigonometrischen Polynome g = ∑_{k=n}^{m} a_{k}e_{k} die Funktion h+g ein Element von D(S_{e}). Da die trigonometrischen Polynome nach dem Approximationssatz von Weierstraß in C(𝕋) dicht liegen, folgt H^{∞}(𝕋) + C(𝕋) ⊆ D(S_{e}) und damit insgesamt die Behauptung. □

Wir wollen den Raum Δ(H^{∞}(𝕋)+C(𝕋)) der multiplikativen linearen Funktionale von H^{∞}(𝕋)+C(𝕋) näher beschreiben. Zunächst zeigen wir, daß die Räume der multiplikativen linearen Funktionale abgeschlossener Unteralgebren von L^{∞}(𝕋), die H^{∞}(𝕋) enthalten, kanonisch homöomorph zu einer abgeschlossenen Teilmenge von Δ(H^{∞}(𝕋)) ist.

3Eine Herleitung dieses bemerkenswerten Theorems ist aus Zeitgründen im Rahmen dieser Vorlesung leider nicht möglich. Eine ausführliche Darstellung findet man z.B. im Kapitel IX des Buches [24] von Garnett.

Satz 3.32. Sei 𝔄 eine abgeschlossene Unteralgebra von L^{∞}(𝕋), die H^{∞}(𝕋) enthält. Dann wird durch

ρ : Δ(𝔄) → Δ(H^{∞}(𝕋)) , ϕ ↦ ρ(ϕ) := ϕ|_{H^{∞}(𝕋)} ,

eine Homöomorphie von Δ(𝔄) auf eine kompakte Teilmenge von Δ(H^{∞}(𝕋)) definiert.

Beweis. Die Stetigkeit von ρ ist unmittelbar klar. Insbesondere ist ρ(Δ(𝔄)) eine kompakte Teilmenge von Δ(H^{∞}(𝕋)). Sei nun ϕ ∈ ρ(Δ(𝔄)) beliebig und seien Ψ_{1}, Ψ_{2} ∈ Δ(𝔄) mit Ψ_{j}|_{H^{∞}(𝕋)} = ϕ für j = 1, 2. Dann gibt es nach dem Satz von Hahn-Banach stetige lineare Fortsetzungen L_{j} ∈ L^{∞}(𝕋)′ von Ψ_{j} mit ∥L_{j}∥ = ∥Ψ_{j}∥ = 1 = Ψ_{j}(1) = L_{j}(1), j = 1, 2. Insbesondere sind L_{1}, L_{2} positive lineare Funktionale (nach Aufgabe 3.16). Da beide auch Fortsetzungen von ϕ sind, folgt mit Aufgabe 3.18 schon L_{1} = L_{2} und somit auch Ψ_{1} = Ψ_{2}. □

Folgerung 3.33. Ist 𝔄 eine H^{∞}(𝕋) enthaltende aber von von H^{∞}(𝕋) verschiedene, abgeschlossene Unteralgebra von L^{∞}(𝕋). Dann gilt schon H^{∞}(𝕋) + C(𝕋) ⊆ 𝔄 und

ρ(Δ(𝔄)) ⊆ Δ(H^{∞}(𝕋)) \ 𝔻

mit der Identifikation von 𝔻 mit {E_{w}; w ∈ 𝔻} und ρ wie in Satz 3.32.

Beweis. Nach Satz 3.32 können wir Δ(𝔄) per Restriktion identifizieren mit der abgeschlossenen Teilmenge ρ(Δ(𝔄)) von Δ(H^{∞}(𝕋)). Zwei Fälle sind denkbar :

Fall 1 : E_{0} ∉ ρ(Δ(𝔄)). Dann folgt insbesondere ϕ(e_{1}) ≠ 0 für alle ϕ ∈ Δ(𝔄) und somit die Invertierbarkeit von e_{1} in 𝔄, d.h. e_{1}^{−1} = e_{−1} ∈ 𝔄 und somit e_{n} ∈ 𝔄 für alle n ∈ ℤ. Also ist C(𝕋) = \overline{LH\{e_{n}; n ∈ ℤ\}}^{∥·∥_{∞}} ⊆ 𝔄 und daher auch H^{∞}(𝕋) + C(𝕋) ⊆ 𝔄.

Fall 2 : E_{0} ∈ ρ(Δ(𝔄)). Die nach Aufgabe 3.18 eindeutig bestimmte Fortsetzung E_{0} zu einem positiven linearen Funktional auf L^{∞}(𝕋) ist (nach Definition von E_{0}) gegeben durch

L_{0}(f) := ∫_{𝕋} f(ζ) dζ (f ∈ L^{∞}(𝕋))

und muß auf 𝔄 multiplikativ sein. Ist nun f ∈ 𝔄 \ H^{∞}(𝕋), so ist f̂_{−n} ≠ 0 für wenigstens ein n ∈ ℕ und wir erhalten den Widerspruch

0 ≠ ∫_{𝕋} f(ζ)ζ^{n} dζ = L_{0}(f · e_{n}) = L_{0}(f)L_{0}(e_{n}) = L_{0}(f)E_{0}(e_{n}) = 0.

Dieser Fall kann also nicht eintreten. Somit gilt H^{∞}(𝕋) + C(𝕋) ⊆ 𝔄.

Sei nun w ∈ 𝔻 beliebig. Wir machen die Annahme: E_{w} ∈ ρ(Δ(𝔄)). Sei ϕ_{w} das nach Satz 3.32 eindeutig bestimmte multiplikative Funktional auf 𝔄 mit ϕ_{w}|_{H^{∞}(𝕋)} = E_{w}. Wegen C(𝕋) ⊂ 𝔄 ist (w−e_{1})^{−1} ∈ 𝔄. Nach Gleichung (3.5) ist das lineare Funktional f ↦ P (f, w) die nach Aufgabe 3.18 eindeutig bestimmte Fortsetzung zu einem positiven linearen Funktional auf L^{∞}(𝕋). Insbesondere gilt P (f, w) = ϕ_{w}(f) für alle f ∈ 𝔄. Sei nun f ∈ 𝔄\ker ϕ_{w}. Die Funktion (w−e_{1})^{−1} : z ↦ 1/(w−z) ist stetig auf 𝕋 also in 𝔄. Es folgt (w−e_{1})^{−1}f ∈ 𝔄 und

ϕ_{w}(f) = ϕ_{w}((w − e_{1})(w − e_{1})^{−1}f) = ϕ_{w}(w − e_{1})ϕ_{w}((w − e_{1})^{−1}f) = 0

im Widerspruch zu ϕ_{w}(f) ≠ 0. Die Annahme war also falsch und es folgt ρ(Δ(𝔄)) ∩ {E_{w}; w ∈ 𝔻} = ∅. □

Wir zeigen nun, daß die Poissontransformierte auf Funktionen aus H^{∞}(𝕋) + C(𝕋) bei Annäherung an den Rand von 𝔻 asymptotisch multiplikativ ist. Wir erinnern daran, daß für alle f ∈ L^{∞}(𝕋) gilt ∥P (f, ·)∥_{∞} ≤ ∥f∥_{∞} und

P (f, re^{iφ}) = ∑_{n=−∞}^{∞} f̂_{n}r^{|n|}e^{inφ} .

Ist f ∈ L^{∞}(𝕋), z ∈ 𝔻, so schreiben wir statt P (f, z) auch kurz f̂(z).

Lemma 3.34. Für alle f, g ∈ H^{∞}(𝕋) + C(𝕋) und für alle ε > 0 existiert ein δ > 0, so daß für alle z ∈ 𝔻 mit 1 − |z| < δ gilt

|f̂(z)ĝ(z) − f̂g(z)| < ε.

Beweis. Wir zeigen zunächst:

(a) Für alle u ∈ H^{∞}(𝕋), alle n ∈ ℕ_{0} und alle ε > 0 existiert ein δ > 0, so daß für alle

z ∈ 𝔻 mit 1 − |z| < δ gilt |{ \atop e_{−n}u}(z) − ê_{−n}(z)û(z)| < ε.

Unter Verwendung der obigen Darstellung der Poisson-Transformierten sieht man für alle z = re^{iφ} ∈ 𝔻:

|{ \atop e_{−n}u}(z) − ê_{−n}(z)û(z)| ≤ ∑_{k=0}^{n} |r^{n−k} − r^{n+k}|û_{k} + (r^{−n} − r^{n})∥ ∑_{k=n+1}^{∞} û_{k}e_{k}∥_{∞} → 0 für r → 1.

(b) Wir kommen nun zum eigentlichen Beweis des Lemmas. Da D_{0}(S_{e}) in D(S_{e}) = H^{∞}(𝕋) + C(𝕋) dicht liegt, genügt es, die Behauptung für alle Funktionen der Gestalt \overline{e_{n}}u = e_{−n}u mit n ∈ ℕ_{0}, u ∈ H^{∞}(𝕋) zu beweisen. Seien also n, m ∈ ℕ_{0} und u, v ∈ H^{∞}(𝕋) beliebig. Dann gilt

|{ \atop e_{−n}u}(z){ \atop e_{−m}v}(z) − { \atop e_{−n−m}uv}(z)| ≤ |({ \atop e_{−n}u}(z) − ê_{−n}(z)û(z))){ \atop e_{−m}v}(z)|

+ |ê_{−n}(z)û(z) ({ \atop e_{−m}v}(z) − ê_{−m}(z)v̂(z))|

+ |{ \atop e_{−n−m}}(z)ûv(z) − { \atop e_{−n−m}uv}(z)|

Zu den drei Summanden auf der rechten Seite gibt es nach (a) ein δ > 0, so daß jeder von ihnen für 1 − |z| < δ kleiner wird als ε/3. Damit folgt die Behauptung. □

Abschließend charakterisieren wir die invertierbaren Elemente der Douglas-Algebra H^{∞}(𝕋) + C(𝕋).

Satz 3.35. Eine Funktion f ∈ H^{∞}(𝕋) + C(𝕋) ist genau dann invertierbar in der Douglas-Algebra H^{∞}(𝕋) + C(𝕋), wenn es positive Zahlen δ, ε gibt, so daß für alle z ∈ 𝔻 mit 1 − |z| < δ gilt |f̂(z)| ≥ ε.

Beweis. ”⟹”: Ist f in H^{∞}(𝕋) + C(𝕋) invertierbar, so gibt es nach Lemma 3.34 ein δ > 0, so daß für alle z ∈ 𝔻 mit 1 − |z| < δ gilt:

1 − |f̂(z)f̂^{−1}(z)| ≤ |1 − f̂(z)f̂^{−1}(z)| < \frac{1}{2}.

Es folgt also für alle solche z:

\frac{1}{2} < |f̂(z)f̂^{−1}(z)| ≤ |f̂(z)| · ∥f^{−1}∥_{∞}

und somit

ε := \frac{∥f^{−1}∥_{∞}}{2} < |f̂(z)|.

”⟸”: Sei nun f ∈ H^{∞}(𝕋) + C(𝕋) und seien ε, δ > 0 so daß

|f̂(z)| ≥ ε für alle z ∈ 𝔻 mit 1 − |z| < δ.

Dann gibt es eine Funktion u ∈ H^{∞}(𝕋) und ein n ∈ ℕ_{0} mit ∥f − e_{−n}u∥_{∞} < ε/3. Nach Lemma 3.34 gibt es ein δ_{1} ∈ (0, δ), so daß für alle z = re^{iφ} ∈ 𝔻 mit 1 − |z| = 1 − r < δ_{1} gilt

|{ \atop e_{−n}u}(z) − ê_{−n}(z)û(z)| < \frac{ε}{3}

und somit

|f̂(z)−r^{n}e^{−inφ}û(z)| ≤ |f̂(z)−{ \atop e_{−n}u}(z)|+|{ \atop e_{−n}u}(z)−ê_{−n}(z)û(z)| ≤ ∥f −e_{−n}u∥_{∞} + \frac{ε}{3} < \frac{2}{3}ε.

Also gibt es ein δ_{2} ∈ (0, δ_{1}) mit |û(z)| < ε/3 für alle z ∈ 𝔻 mit 1 − |z| < δ_{2}. Da û auf 𝔻 holomorph ist, kann diese Funktion nur endlich viele Nullstellen w_{1}, …, w_{N} (entsprechend ihrer Vielfachheit aufgeführt) haben. Durch mehrfaches Anwenden von Aufgabe 3.19 folgt mit p(z) := ∏_{j=1}^{N}(z − w_{j}): Die Funktion v mit v(z) := u(z)/p(z), z ∈ 𝕋, ist in H^{∞}(𝕋), und hat wegen û = p̂v̂ keine Nullstellen in 𝔻. Insbesondere folgt inf_{z∈𝔻} |v̂(z)| > 0, da v̂ in der Nähe des Randes von 𝔻 von 0 weg beschränkt ist. Nach Satz 3.16 ist v in H^{∞}(𝕋) invertierbar. Da auch p in C(𝕋) invertierbar ist folgt die Invertierbarkeit von u = pv und somit auch die Invertierbarkeit von e_{−n}u in H^{∞}(𝕋) + C(𝕋).

Mit f_{r}(z) := f̂(rz) für alle z ∈ 𝕋 gilt lim_{r→1^{−}} f_{r} = f in L^{2}(𝕋) (nach Aufgabe 3.5) und es folgt |f(z)| ≥ ε m-fast überall auf 𝕋 und somit wegen

|f(z)| − |e_{−n}(z)u(z)| ≤ ∥f − e_{−n}u∥_{∞} < \frac{ε}{3}

m-fast überall auf 𝕋 die untere Abschätzung |(e_{−n}u)(z)| ≥ \frac{2}{3}ε. Also hat man

∥(e_{−n}u)^{−1}∥_{∞} ≤ \frac{3}{2ε} und somit ∥f − e_{−n}u∥_{∞} < \frac{ε}{3} < \frac{2}{3}ε ≤ ∥(e_{−n}u)^{−1}∥_{∞}^{−1}

Mit dem Beweis des aus der Funktionalanalysis bekannten Satz über die Offenheit der Menge G der invertierbaren Elemente einer Banachalgebra (siehe z.B. Satz 7.7 in [3]) folgt die Invertierbarkeit von f in H^{∞}(𝕋) + C(𝕋). □

Übungsaufgaben zu Kapitel 3

Aufgabe 3.1. Sei (X, ∥ · ∥) einer der Banachräume (C(𝕋), ∥ · ∥_{𝕋}), (L^{p}(𝕋), ∥ · ∥_{p}) mit 1 ≤ p < ∞. Für alle w ∈ 𝕋 definieren wir eine Abbildung T_{w} durch

(T_{w}f)(z) := f(z/w) = f(z\overline{w}) (f ∈ X, z ∈ 𝕋).

Zeigen Sie:

(a) Für alle w ∈ 𝕋 ist T_{w} eine lineare Isometrie von X auf sich.

(b) Für alle f ∈ X ist durch

F (w) := T_{w}f (w ∈ 𝕋)

eine auf 𝕋 stetige X–wertige Funktion gegeben.

Aufgabe 3.2. Für alle z ∈ 𝔻 definieren wir

P (w) := Re(\frac{1 + z}{1 − z} ) .

Zeigen Sie:

(a) Für 0 ≤ r < 1 und t ∈ ℝ gilt

P (re^{it}) = 1 + 2 ∑_{n=1}^{∞} r^{n} cos(nt) = \frac{1 − r^{2}}{1 − 2r cos(t) + r^{2}} .

(b) Es ist P > 0 auf 𝔻 und ∫_{𝕋} P (rz) dm(z) = 1 für alle r ∈ [0, 1).

(c) Für alle δ ∈ (0, π) gilt mit S_{δ} := {e^{it}; t ∈ [−π, π], |t| ≥ δ}:

lim_{r→1^{−}} ∫_{S_{δ}} P (rz) dm(z) = 0.

Aufgabe 3.3. Sei (X, ∥ · ∥) ein Banachraum und F : 𝕋 → X eine auf 𝕋 stetige X–wertige Funktion. Zeigen Sie:

lim_{r→1^{−}} ∫_{𝕋} P (rz)F (z) dm(z) = F (1).

Aufgabe 3.4. Zeigen Sie: Mit den Bezeichnungen der vorherigen Aufgaben gilt für alle f ∈ L^{1}(𝕋):

(a) Die durch

P (f, z) := ∫_{𝕋} P (z/ζ)f(ζ) dm(ζ) (z ∈ 𝔻)

definierte Funktion P (f, ·) ist auf 𝔻 harmonisch.

(b) Für alle r ∈ [0, 1), t ∈ [−π, π] gilt

P (f, re^{it}) = ∑_{n=−∞}^{∞} f̂_{n}r^{|n|}e^{int} .

Hierbei sei f̂_{n} der n-te Fourierkoeffizient von f für alle n ∈ ℤ.

(c) Für alle r ∈ [0, 1) ist P (f, r·) : z ↦ P (f, rz) in L^{1}(𝕋) und erfüllt

P (f, r·) = ∫_{𝕋} P (rζ)T_{ζ}f dm(ζ) .

Aufgabe 3.5. Sei (X, ∥ · ∥_{X}) einer der Banachräume (C(𝕋), ∥ · ∥_{𝕋}), (L^{p}(𝕋), ∥ · ∥_{p}) mit 1 ≤ p < ∞. Zeigen Sie, daß für alle f ∈ X die folgenden Aussagen gelten:

(a) Für alle r ∈ (0, 1] gilt ∥P (f, r·)∥_{X} ≤ ∥f∥_{X}.

(b) lim_{r→1^{−}} P (f, r·) = f in (X, ∥ · ∥).

(c) Ist die Funktion P (f, ·) auf 𝔻 reellwertig, so ist auch f reellwertig.

Aufgabe 3.6. Zeigen Sie: Für alle f ∈ H^{p}(𝕋), 1 ≤ p ≤ ∞ ist die Funktion z ↦ P (f, z) auf 𝔻 holomorph und es gilt ∥P (f, r·)∥_{p} ≤ ∥f∥_{p}.

Aufgabe 3.7. Zeigen Sie, daß für alle a ∈ 𝕋 die Funktion

f_{a} : 𝕋 → ℂ, z ↦ exp ( − \frac{a + z}{a − z} )

eine innere Funktion ist.

Aufgabe 3.8. Sei f ∈ L^{∞}(𝕋), 1 ≤ p ≤ ∞ und bezeichne M_{f} : L^{p}(𝕋) → L^{p}(𝕋) den Operator der Multiplikation mit f auf L^{p}(𝕋). Zeigen Sie:

σ(M_{f}, L^{p}(𝕋)) = σ_{L^{∞}(𝕋)}(f) = ess ran f.

Aufgabe 3.9 (Arithmetik innerer Funktionen). Mit Hilfe des Satzes von Beurling kann man Teilbarkeitseigenschaften innerer Funktionen studieren: Sind θ_{1}, θ_{2} zwei innere Funktionen auf 𝕋, so nennen wir θ_{1} einen Teiler von θ_{2} und schreiben θ_{1}|θ_{2}, falls eine innere Funktion θ_{0} existiert mit θ_{2} = θ_{0}θ_{1} m-fast überall auf 𝕋. Zeigen Sie:

(a) Sind θ_{1}, θ_{2} innere Funktionen auf 𝕋, so gilt:

θ_{1}|θ_{2} ⟺ θ_{1}H^{2}(𝕋) ⊆ θ_{2}H^{2}(𝕋).

(b) Zu je endlich vielen inneren Funktionen θ_{1}, …, θ_{n} auf 𝕋 gibt es ein kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) in der Menge der inneren Funktionen, d.h. eine innere Funktion θ_{0} mit θ_{j}|θ_{0} für j = 1, …, n und mit der Eigenschaft, daß θ_{0}|θ für alle inneren Funktionen θ mit θ_{j}|θ für j = 1, …, n gilt.

(c) Zu je endlich vielen inneren Funktionen θ_{1}, …, θ_{n} auf 𝕋 gibt es einen größten gemeinsamen Teiler (ggT) in der Menge der inneren Funktionen, d.h. eine innere Funktion θ_{0} mit θ_{0}|θ_{j} für j = 1, …, n und mit der Eigenschaft, daß θ|θ_{0} für alle inneren Funktionen θ mit θ|θ_{j} für j = 1, …, n gilt.

Hinweis zu (b) und (c) betrachten Sie die abgeschlossenen Unterräume

M_{Σ} := \overline{LH ( ⋃_{j=1}^{n} M_{θ_{j}}(H^{2}(𝕋)))} und M_{Δ} := ⋂_{j=1}^{n} M_{θ_{j}}(H^{2}(𝕋)) .

Aufgabe 3.10. Sei ψ : 𝔻 → ℂ eine auf 𝔻 holomorphe Funktion. Zeigen Sie: Genau dann gibt es eine Funktion f ∈ H^{2}(𝕋) mit f̂(z) = ψ(z) für alle z ∈ 𝔻, wenn gilt

∑_{n=0}^{∞} \frac{|ψ^{(n)}(0)|^{2}}{(n!)^{2}} < ∞ .

Es ist dann

∥f∥_{2} = ( ∑_{n=0}^{∞} \frac{|ψ^{(n)}(0)|^{2}}{(n!)^{2}} )^{\frac{1}{2}} .

Aufgabe 3.11. Sei h ∈ H^{1}(𝕋) keine m-Nullfunktion. Zeigen Sie:

m({z ∈ 𝕋; h(z) = 0}) = 0 .

Aufgabe 3.12. Sei (E, ∥ · ∥) ein Banachraum, dessen Einheitskugel keine Extremalpunkte besitzt. Zeigen Sie, daß dann (E, ∥ · ∥) nicht isometrisch isomorph zum Dualraum eines Banachraumes sein kann.

Hinweis: Erinnern Sie sich an die Sätze von Banach-Alaoglu und Krein-Milman aus der Funktionalanalysis.

Aufgabe 3.13. Zeigen Sie mit Hilfe der vorhergehenden Aufgabe: Der Banachraum (L^{1}(𝕋), ∥ · ∥_{1}) ist nicht isometrisch isomorph zum Dualraum eines Banachraums.

Auf ähnliche Weise kann man zeigen, daß auch L^{1}(𝕋)/H_{0}^{1}(𝕋) nicht isometrisch isomorph zu einem dualen Banachraum sein kann (siehe die Arbeit [7] von T. Ando).

Aufgabe 3.14. Sei A(𝕋) := {f ∈ C(𝕋) ; f̂_{−n} = 0 für alle n ∈ ℕ}. Zeigen Sie:

(a) A(𝕋) ist eine abgeschlossene Unteralgebra von C(𝕋) und

A(𝕋) = \{f ∈ C(𝕋) ; ∃g ∈ C(\overline{𝔻}) ∩ O(𝔻) : f ≡ g|𝕋 \}.

(b) Berechnen Sie Δ_{C(𝕋)}(A(𝕋)).

Aufgabe 3.15. Zeigen Sie, daß die Abbildung u ↦ ψ_{u} mit

ψ_{u}(f + H_{0}^{1}(𝕋)) := ∫_{𝕋} f(z)u(z) dm(z) (f + H_{0}^{1}(𝕋) ∈ L^{1}(𝕋)/H_{0}^{1}(𝕋))

einen isometrischen Isomorphismus von H^{∞}(𝕋) auf den topologischen Dualraum von L^{1}(𝕋)/H_{0}^{1}(𝕋) definiert.

Eine Eindeutigkeitsaussage für den Prädualraum von H^{∞}(𝕋) wurde von T. Ando in [7] angegeben.

Aufgabe 3.16. Sei (ℜ, ∥ · ∥) eine C^{∗}–Algebra mit Einselement 1 und sei L : ℜ → ℂ ein stetiges lineares Funktional mit L(1) = 1 = ∥L∥. Zeigen Sie, daß L dann ein positives lineares Funktional ist, d.h., daß L(a) ≥ 0 für alle positiven Elemente aus ℜ gilt.

Hinweis: Sei 0 ≤ a ∈ ℜ und sei ℜ_{a} die von 1 und a erzeugte abgeschlossene Unteralgebra von ℜ. Wenden Sie den Rieszschen Darstellungssatz auf die zu ℜ_{a} isometrisch isomorphe Banachalgebra C(σ(a)) an und zeigen Sie, daß es ein positives Maß μ ∈ rca(σ(a)) gibt mit L(a) = ∫_{σ(a)} z dμ.

Aufgabe 3.17. Sei f ∈ L^{∞}(𝕋) reellwertig. Zeigen Sie, daß es dann eine invertierbare Funktion u ∈ H^{∞}(𝕋) gibt mit |u| = e^{f} m-fast überall auf 𝕋.

Aufgabe 3.18. Sei ϕ ∈ Δ(H^{∞}(𝕋)) und seien L_{1} und L_{2} zwei positive lineare Funktionale auf L^{∞}(𝕋), die auf H^{∞}(𝕋) mit ϕ übereinstimmen. Zeigen Sie, daß dann schon L_{1} = L_{2} gilt.

Hinweis: Ist f eine beliebige reellwertige Funktion aus L^{∞}(𝕋) und u zu f gemäß Aufgabe 3.17 gewählt, so zeige man zunächst

|ϕ(u)| ≤ L_{1}(e^{f}) und |ϕ(1/u)| ≤ L_{2}(e^{−f}).

Zeigen Sie nun, daß die Funktion ψ : t ↦ ψ(t) := L_{1}(e^{tf})L_{2}(e^{−tf}) auf ℝ stetig differenzierbar ist und in t = 0 ihr Minimum annimmt. Berechnen Sie ψ′(0).

Aufgabe 3.19. Seien u ∈ H^{∞}(𝕋) und w ∈ 𝔻 mit E_{z}(u) = 0. Zeigen Sie: Die Funktion v mit

v(ζ) := \frac{\overline{ζ}u(ζ)}{1 − w\overline{ζ}} (ζ ∈ 𝕋)

liegt in H^{∞}(𝕋) und erfüllt (e_{1} − w)v = u.

Aufgabe 3.20. Sei K ein kompakter Hausdorffraum und sei 𝔄 eine abgeschlossene Unteralgebra von C(K), die die Konstanten enthält. Sei weiter S eine multiplikative Halbgruppe von Funktionen aus 𝔄 mit |u| ≡ 1 für alle u ∈ S und mit 1 ∈ S. Zeigen Sie:

(a) Die Abschließung 𝔄(S) von \{f\overline{u}; u ∈ S, f ∈ 𝔄\} ist eine Banachalgebra.

(b) Sind ϕ_{1}, ϕ_{2} ∈ Δ(𝔄(S)) mit ϕ_{1}(f) = ϕ_{2}(f) für alle f ∈ 𝔄, so gilt schon ϕ_{1} = ϕ_{2}.

(c) Durch ϕ ↦ ρ(ϕ) := ϕ|_{𝔄} wird eine stetige Einbettung von Δ(𝔄(S)) in Δ(𝔄) gegeben.

(d) ρ(Δ(𝔄(S))) = {φ ∈ Δ(𝔄) ; |φ(u)| = 1 für alle u ∈ S}.

Aufgabe 3.21. Zeigen Sie:

(a) Δ(L^{∞}(𝕋)) ist kanonisch homöomorph zu

Δ_{L^{∞}} := {ϕ ∈ Δ(H^{∞}(𝕋)) ; |ϕ(u)| = 1 für alle inneren Funktionen u}.

(b) Δ(H^{∞}(𝕋) + C(𝕋)) ist kanonisch homöomorph zu

Δ_{e} := {ϕ ∈ Δ(H^{∞}(𝕋)) ; |ϕ(e_{1})| = 1}.

KAPITEL 4 Toeplitzoperatoren auf H^{2}(𝕋)

Da H^{2}(𝕋) ein abgeschlossener Unterraum des Hilbertraums L^{2}(𝕋) ist, gibt es eine eindeutig bestimmte orthogonale Projektion P von L^{2}(𝕋) auf H^{2}(𝕋). Es gilt

ker P = H^{2}(𝕋)^{⊥} = {g ∈ L^{2}(𝕋) ; ĝ_{n} = 0 für alle n ≥ 0}.

Da die Familie {e_{n}; n ∈ ℤ} (mit e_{n}(z) = z^{n} für alle n ∈ ℤ, z ∈ 𝕋) eine Orthonormalbasis von L^{2}(𝕋) ist, hat jede Funktion f ∈ L^{2}(𝕋) eine eindeutige, bezüglich ∥ · ∥_{2} konvergente Fourierreihendarstellung

f = ∑_{n=−∞}^{∞} f̂_{n}e_{n} .

Die Projektion P auf H^{2}(𝕋) ist daher gegeben durch

P f = ∑_{n=0}^{∞} f̂_{n}e_{n} .  (4.1)

Die folgende Aussage wird später benötigt:

∀g ∈ ker P = H^{2}(𝕋)^{⊥} : \overline{g} ∈ H_{0}^{2}(𝕋) := \{u ∈ L^{2}(𝕋) ; û_{n} = 0 für alle n ≤ 1\} ⊂ H^{2}(𝕋).

(4.2)

Für f ∈ L^{∞}(𝕋) definieren wir den Toeplitzoperator T_{f} mit dem Symbol f durch

T_{f} := P M_{f} |_{H^{2}(𝕋)} : H^{2}(𝕋) → H^{2}(𝕋) , h ↦ T_{f}h := P (fh) .

Wegen

∥T_{f}h∥_{2} = ∥P (fh)∥_{2} ≤ ∥P ∥ · ∥f∥_{∞} · ∥h∥_{2} ≤ ∥f∥_{∞} · ∥h∥_{2} (h ∈ H^{2}(𝕋))

ist T_{f} ∈ L(H) mit

∥T_{f}∥ ≤ ∥f∥_{∞} für alle f ∈ L^{∞}(𝕋).  (4.3)

Die Abbildung f ↦ T_{f} ist also kontraktiv. Wegen T_{1} = id_{H^{2}(𝕋)} ist sie auch unital. Für alle f ∈ L^{∞}(𝕋), u, v ∈ H^{2}(𝕋) gilt weiter

⟨T\overline{f}u, v⟩ = ⟨P (\overline{f}u), v⟩ = ⟨\overline{f}u, v⟩ = ⟨u, fv⟩ = ⟨u, P (fv)⟩ = ⟨u, T_{f}v⟩

und es folgt T\overline{f} = T_{f}^{∗}.

Wir halten fest:

Lemma 4.1. Die Abbildung f ↦ T_{f} ist eine lineare, unitale, kontraktive ∗-Abbildung von L^{∞}(𝕋) nach L(H^{2}(𝕋)).

Natürlich ist die Abbildung f ↦ T_{f} im allgemeinen nicht multiplikativ.

Ist speziell f ∈ H^{∞}(𝕋), so ist H^{2}(𝕋) ein M_{z}-invarianter Unterraum und T_{f} stimmt mit der Restriktion M_{f} |_{H^{2}(𝕋)} : H^{2}(𝕋) → H^{2}(𝕋) des Operators der Multiplikation mit f auf H^{2}(𝕋) überein.

Im folgenden ersten Abschnitt dieses Kapitels stellen wir einige elementare Grundlagen der Spektraltheorie von Toeplitzoperatoren auf H^{2}(𝕋) bereit.

44 4. TOEPLITZOPERATOREN AUF H^{2}(𝕋)

4.1. Elementare Eigenschaften von Toeplitzoperatoren auf H^{2}(𝕋)

Für eine obere Abschätzung des Spektrums von Toeplitzoperatoren zeigen wir zunächst ein auch in anderen Situationen nützliches Lemma.

Lemma 4.2. Sei a ein normales Element einer C^{∗}–Algebra A mit Einselement 1_{A}. Ist Φ : LH{a, 1_{A}} → B eine lineare Abbildung von LH{a, 1_{A}} in eine Banachalgebra B mit Einselement 1_{B}, die ∥Φ∥ = 1 und Φ(1_{A}) = 1_{B} erfüllt, so gilt

σ_{B}(Φ(a)) ⊆ conv σ_{A}(a).

Beweis. (a) Wir zeigen zunächst:

Ist b ∈ LH{a, 1_{A}} mit σ_{A}(b) ⊂ ℍ_{r} := {z ∈ ℂ; Rez > 0}, so gilt auch σ_{B}(Φ(b)) ⊂ ℍ_{r}. Wegen σ_{A}(b) ⊂ ℍ_{r} = ⋃_{n=1}^{∞} U_{n}(n) und der Kompaktheit des Spektrums von b gibt es

ein n ∈ ℕ mit σ_{A}(b) ⊂ U_{n}(n). Nach dem spektralen Abbildungssatz hat man

σ_{A}(\frac{1}{n}b − 1_{A}) = \frac{1}{n}σ_{A}(b − n1_{A}) ⊂ \frac{1}{n}(U_{n}(n) − n) = 𝔻.

Da b normal ist, folgt

∥\frac{1}{n}b − 1_{A}∥_{A} = r_{A}(\frac{1}{n}b − 1_{A}) < 1.

Also hat man

∥Φ(\frac{1}{n}b) − 1_{B}∥_{B} = ∥Φ(\frac{1}{n}b − 1_{A})∥_{B} ≤ ∥\frac{1}{n}b − 1_{A}∥_{A} < 1

und daher σ_{B} (Φ(\frac{1}{n}b) − 1_{B}) ⊂ 𝔻. Wieder mit dem spektralen Abbildungssatz folgt

σ_{B}(b) ⊂ U_{n}(n) ⊂ ℍ_{r} .

(b) Da die konvexe Hülle von σ_{A}(a) mit dem Durchschnitt über alle offenen das Spektrum von a enthaltenden Halbebenen übereinstimmt, genügt es zu zeigen, daß jede offene Halbebene in ℂ, die σ_{A}(a) enthält auch das Spektrum von Φ(a) in B enthält. Sei also H eine beliebige das Spektrum von a enthaltende Halbebene und sei λ ein Randpunkt von H. Dann folgt σ_{A}(a − λ) ⊂ H − λ, wobei H − λ jetzt eine offene Halbebene in ℂ ist, deren Randgerade durch 0 verläuft. Dann gibt es ein t ∈ ℝ, so daß die gedrehte Halbebene e^{it}(H − λ) mit ℍ_{r} übereinstimmt und σ_{A}(e^{it}(a − λ)) ⊂ ℍ_{r} gilt. Nach Beweisteil (a) angewendet auf b := e^{it}(a − λ1_{A}) folgt σ_{B} (Φ(e^{it}(a − λ1_{c}A))) ⊂ ℍ_{r} und hieraus mit dem spektralen Abbildungssatz

σ_{B}(Φ(a)) = σ_{B}(Φ(e^{−it}b+λ1_{A})) = σ_{B}(e^{−it}Φ(b)+λ1_{B}) = e^{−it}σ_{B}(Φ(b))+λ ⊂ e^{−it}ℍ_{r} +λ = H

und damit die Behauptung. □

Für A ∈ L(H^{2}(𝕋)) schreiben wir kurz σ(A) für σ_{L(H^{2}(𝕋))}(A) = σ(A, H^{2}(𝕋)).

Folgerung 4.3 (Brown-Halmos). Für alle f ∈ L^{∞}(𝕋) gilt σ(T_{f}) ⊆ conv(ess ran f).

Beweis. Wir wenden Lemma 4.2 an auf A := L^{∞}(𝕋), B := L(H^{2}(𝕋)), Φ : f ↦ T_{f} und beachten σ_{L^{∞}(𝕋)}(f) = ess ran f (nach Aufgabe 3.8). □

Der folgende Satz von Hartmann und Wintner zeigt, daß hierbei auch das Gleichheitszeichen auftreten kann:

Satz 4.4 (Hartman-Wintner). Ist f ∈ L^{∞}(𝕋) reellwertig, so gilt σ(T_{f}) = [a_{f}, b_{f}] mit a_{f} := min ess ran(f) und b_{f} = max ess ran(f).

4.1. ELEMENTARE EIGENSCHAFTEN VON TOEPLITZOPERATOREN AUF H^{2}(𝕋) 45

Beweis. Nach Folgerung 4.3 genügt es, die Inklusion [a_{f}, b_{f}] ⊆ σ(T_{f}) zu beweisen. Sei λ ∈ ℝ \ σ(T_{f}) beliebig. Dann gibt es eine Funktion h ∈ H^{2}(𝕋) mit

P ((λ − f)h) = (λ − T_{f})h = 1 m–fast überall.

Mit u := (1 − P)((λ − f)h) gilt u ∈ L^{2}(𝕋) ⊖ H^{2}(𝕋) und daher \overline{u} ∈ H^{2}(𝕋) (nach (4.2)). Wegen (λ − f)h = 1 + u und der Tatsache, daß f reellwertig ist und λ reell ist, folgt

(λ − f)\overline{h} = 1 + \overline{u} ∈ H^{2}(𝕋)

und daher auch

(λ − f)|h|^{2} = (1 + \overline{u})h ∈ H^{1}(𝕋).

Da die linke Seite reellwertig ist, gibt es nach Satz 3.1 eine reelle Konstante α mit (λ − f)|h|^{2} = α m-fast überall. Nach dem Satz von F. und M. Riesz (Satz 3.12) gilt |h(z)|^{2} > 0 für m-fast alle z ∈ 𝕋. λ − f und α haben daher m-fast überall das gleiche Vorzeichen. Also kann λ nicht in dem Intervall [−a_{f}, b_{f}] liegen. □

Ist also B ⊂ 𝕋 eine Borelmenge mit 0 < m(B) < 1, so gilt

σ(T_{χ_{B}}) = [0, 1].

Die Abbildung f ↦ L^{∞}(𝕋) ist zwar nicht multiplikativ, es gilt jedoch noch:

Lemma 4.5. Für alle f ∈ L^{∞}(𝕋), g, h ∈ H^{∞}(𝕋) gilt:

T_{fg} = T_{f}T_{g}  und  T_{\overline{h}f} = T\overline{h}T_{f} .

Beweis. Für alle u ∈ H^{2}(𝕋) gilt:

T_{fg}u = P (fgu) = T_{f}(gu) = T_{f}P (gu) = T_{f}T_{g}u ,

da gu ∈ H^{2}(𝕋) liegt. Da die Abbildung f ↦ T_{f} eine ∗-Abbildung ist folgt die zweite Gleichung wie folgt aus der ersten:

T_{\overline{h}f} = (T_{\overline{f}h})^{∗} = (T\overline{f}T_{h})^{∗} = T\overline{h}T_{f}.
□

Satz 4.6. Ist f ∈ L^{∞}(𝕋) und T_{f} in L(H^{2}) invertierbar, so ist f in L^{∞}(𝕋) invertierbar.

Beweis. Ist T_{f} in L(H^{2}) invertierbar, so gibt es eine Konstante c > 0 mit

∀u ∈ H^{2}(𝕋) : ∥T_{f}u∥_{2} ≥ c∥u∥_{2} .

Für alle u ∈ H^{2}(𝕋), n ∈ ℤ folgt (wegen |e_{n}(z)| = |z^{n}| = 1 für alle z ∈ 𝕋)

∥M_{f}(e_{n}u)∥_{2} = ∥fe_{n}u∥_{2} = ∥fu∥_{2} ≥ ∥P (fu)∥_{2} = ∥T_{f}u∥_{2} ≥ c∥u∥_{2} = c∥e_{n}u∥_{2} .

Da die Menge {e_{n}u; u ∈ H^{2}(𝕋), n ∈ ℤ} dicht in L^{2}(𝕋) liegt, folgt ∥M_{f}g∥_{2} ≥ c∥g∥_{2} für alle g ∈ L^{2}(𝕋). Da mit T_{f} auch T_{f}^{∗} = T\overline{f} in L(H^{2}(𝕋)) invertierbar ist, gibt es ebenso eine Konstante c_{∗} > 0 mit

∀g ∈ L^{2}(𝕋) : ∥M_{f}^{∗}g∥_{2} = ∥M\overline{f}g∥_{2} ≥ c_{∗}∥g∥_{2} .

Daher ist M_{f} in L(L^{2}(𝕋)) invertierbar (vergl. Aufgabe 4.1). Insbesondere ist 0 nicht in σ(M_{f}, L^{2}(𝕋)) enthalten. Wegen σ(M_{f}, L^{2}(𝕋)) = ess ran f = σ_{L^{∞}(𝕋)}(f) (vergl. Aufgabe 3.8) ist f in L^{∞}(𝕋) invertierbar. □

Wegen λ − T_{f} = T_{λ−f} erhält man aus Satz 4.6 und Aufgabe 4.1 unmittelbar:

Folgerung 4.7 (Hartman-Wintner). Für alle f ∈ L^{∞}(𝕋) gilt: ess ran f ⊆ σ(T_{f}).

Zusammen mit dem Satz 4.3 von Brown und Halmos hat man also folgende Abschätzungen für das Spektrum eines beliebigen Toeplitzoperators T_{f}, f ∈ L^{∞}(𝕋):

ess ran f ⊆ σ(T_{f}) ⊆ conv ess ran f .

Folgerung 4.8. Für alle f ∈ L^{∞}(𝕋) gilt: ∥T_{f}∥ = r(T_{f}) = ∥f∥_{∞}.

Beweis. Nach Lemma 4.1 und Folgerung 4.7 gilt

∥f∥_{∞} ≥ ∥T_{f}∥ ≥ r(T_{f}) = sup{|λ|; λ ∈ σ(T_{f})} = sup{|λ|; λ ∈ ess ran f} = ∥f∥_{∞} .

□

Folgerung 4.9. Die Abbildung f ↦ T_{f} ist eine lineare ∗-Isometrie.

Folgerung 4.10. Ist f ∈ L^{∞}(𝕋) und T_{f} quasinilpotent, so ist f eine m-Nullfunktion und T_{f} = 0.

Satz 4.11 (Wintner). Für h ∈ H^{∞}(𝕋) gilt:

(a) T_{h} ist genau dann invertierbar, wenn h in H^{∞} invertierbar ist.

(b) σ(T_{h}) = σ_{H^{∞}(𝕋)}(h) = \overline{ĥ(𝔻)}, wobei ĥ die Gelfandtransformierte zu h sei.

Beweis. (a) Existiert g ∈ H^{∞}(𝕋), so folgt mit Lemma 4.5

T_{h}T_{g} = T_{hg} = T_{1} = 1 := id_{H^{2}(𝕋)} = T_{g}T_{h}

und damit die Invertierbarkeit von T_{h}.

Ist umgekehrt T_{h} invertierbar, so ist nach Satz 4.6 die Funktion h in L^{∞}(𝕋) invertierbar, d.h. es ist g := 1/h ∈ L^{∞}(𝕋). Wegen Lemma 4.5 gilt

T_{h}T_{g} = T_{gh} = T_{1} = 1 ,

d.h. T_{g} ist linksinvers zu T_{h}, muß daher mit T_{h}^{−1} übereinstimmen. Es folgt 1 = T_{h}T_{g} = hP (g). Wenden wir hierauf M_{g} an, so folgt g = ghP (g) = P (g) und damit g ∈ H^{2}(𝕋) ∩ L^{∞}(𝕋) = H^{∞}(𝕋). Also ist h in H^{∞}(𝕋) invertierbar.

(b) Aus (a) folgt leicht σ(T_{h}) = σ_{H^{∞}(𝕋)}(h). Nach Satz 3.16 gilt σ_{H^{∞}(𝕋)}(h) = \overline{ĥ(𝔻)}. □

Ist T ∈ L(H) ein Fredholmoperator (also mit dim ker T < ∞ und codim ranT < ∞) auf einem Hilbertraum H, so ist sein Index definiert durch

ind T = dim ker T − codim ranT = dim ker T − dim ker T^{∗}.

Folgerung 4.12. Für eine in L^{∞}(𝕋) invertierbare Funktion f ∈ L^{∞}(𝕋) ist der Toeplitzoperator T_{f} genau dann ein Fredholmoperator, wenn T_{1/f} einer ist. In diesem Fall gilt: ind T_{f} = − ind T_{1/f}

Beweis. Nach Folgerung 3.22 gibt es eine äußere Funktion g ∈ H^{2}(𝕋) mit |f| = |g| m-fast überall. Insbesondere ist f = gu mit einer unimodularen Funktion u. Wegen f ∈ L^{∞}(𝕋) ist g ∈ L^{∞}(𝕋) ∩ H^{2}(𝕋) = H^{∞}(𝕋). Da f und damit auch g in L^{∞}(𝕋) invertierbar ist, ist g nach Satz 3.17 auch in H^{∞}(𝕋) invertierbar. Mit Lemma 4.5 folgt

T_{1/f} = T\overline{u}T_{1/g} = (T_{f/g})^{∗}T_{1/g} = T_{1/g}^{∗}T_{f}^{∗}T_{1/g},

wobei T_{1/g} nach Satz 4.11 invertierbar ist. Mit dem Satz von Atkinson (siehe z.B. Satz 10.8 in [3]) folgt nun die Behauptung. □

Satz 4.13. Sei f ∈ L^{∞}(𝕋) keine m-Nullfunktion. Dann gilt:

(a) (Coburn) Entweder ist ker T_{f} = {0} oder ker T_{f}^{∗} = {0}.

(b) T_{f} ist genau dann invertierbar,wenn T_{f} ein Fredholmoperator vom Index 0 ist.

(c) T_{f} ist kein kompakter Operator.

Beweis. (a) Annahme: Es gibt von Null verschiedene Funktionen u ∈ ker T_{f} und v ∈ ker T_{f}^{∗} = ker T\overline{f}. Dann ist P (fu) = 0 = P (\overline{f}v) und somit fu, \overline{f}v ∈ ker P. Mit (4.2) folgt \overline{fu}, f\overline{v} ∈ H_{0}^{2}(𝕋) und somit

\overline{fu}v, uf\overline{v} = \overline{\overline{fu}v} ∈ H_{0}^{1}(𝕋) := \{h ∈ H^{1}(𝕋) ; ĥ_{0} = 0\}.

4.2. DIE TOEPLITZ–ALGEBRA T (L^{∞}(𝕋)) 47

Da der Fourierkoeffizient zum Index 0 von \overline{fu}v Null ist folgt nach Satz 3.1 \overline{fu}v = 0 m-fast überall. Dies ist jedoch nicht möglich, da u und v beide nach dem Satz von F. und M. Riesz m-fast überall von 0 verschieden sind und f nach Voraussetzung auf einer Menge von positivem Maß ebenfalls von 0 verschieden ist. Die Annahme war also falsch. Es muß die Behauptung gelten.

(b) Ist T_{f} ein Fredholmoperator vom Index 0 = dim ker T_{f} − dim ker T_{f}^{∗} so muß nach (a) schon ker T_{f} = ker T_{f}^{∗} = {0} gelten und somit T_{f} bijektiv, also invertierbar sein.

Ist T_{f} invertierbar, so ist T_{f} natürlich auch ein Fredholmoperator vom Index 0.

(c) Wäre T_{f} ein kompakter Operator so wäre für alle 0 ≠ λ ∈ ℂ der Operator λ−T_{f} = T_{λ−f} ein Fredholmoperator vom Index 0 und daher nach (b) invertierbar. Damit würde man σ(T_{f}) = {0} erhalten, was nach Folgerung 4.10 und der Voraussetzung an f nicht möglich ist. Also kann T_{f} kein kompakter Operator sein. □

4.2. Die Toeplitz–Algebra T (L^{∞}(𝕋))

Ist S eine Teilmenge von L^{∞}(𝕋) mit 1 ∈ S, so bezeichnen wir mit T (S) sie abgeschlossene von {T_{f} ; f ∈ S} erzeugte Unteralgebra von L(H). Ist die Menge S symmetrisch (d.h. es gilt \overline{f} ∈ S für alle f ∈ S), so ist T (S) eine C^{∗}–Unteralgebra von L(H). Insbesondere sind wir natürlich an der C^{∗}–Algebra T (L^{∞}(𝕋)) interessiert. Die Symbolabbildung τ : f ↦ T_{f}, von der wir bereits wissen, daß sie eine unitale, isometrische, lineare ∗-Abbildung ist, induziert dann eine Abbildung

τ_{c} : L^{∞}(𝕋) → T (L^{∞}(𝕋))/ com(T (L^{∞}(𝕋))) , f ↦ π(τ(f)),

von L^{∞}(𝕋) in die (nach Aufgabe 2.5) kommutative C^{∗}–Algebra T (L^{∞}(𝕋))/ com(τ(L^{∞}(𝕋))) wobei π : T (L^{∞}(𝕋)) → T (L^{∞}(𝕋))/ com(τ(L^{∞}(𝕋))) den kanonischen Epimorphismus bezeichne. τ_{c} ist dann offensichtlich eine unitale, kontraktive, lineare ∗-Abbildung. Es gilt sogar:

Satz 4.14. τ_{c} ist ein isometrischer ∗–Isomorphismus. Man hat also eine kurze exakte Sequenz

{0} ⟶ com(τ(L^{∞}(𝕋))) ↪ T (L^{∞}(𝕋)) ⟶^{ρ} L^{∞}(𝕋) ⟶ {0}

mit ρ ∘ τ = id_{L^{∞}(𝕋)}.

Beweis. (a) Zunächst zeigen wir, daß τ_{c} ein Algebrenhomomorphismus ist. Nur die Multiplikativität ist zu beweisen. Wegen der schon zuvor bemerkten Stetigkeit von τ_{c} genügt es, die Multiplikativität auf der dichten Teilalgebra Q von L^{∞}(𝕋) (vergl. Satz 3.25) nachzurechnen. Seien also f = \overline{θ}u, g = \overline{φ}v ∈ Q beliebig (mit inneren Funktionen θ, φ und Funktionen u, v ∈ H^{∞}(𝕋)). Unter Verwendung von Lemma 4.5 folgt

\begin{aligned}τ(fg) & = T_{fg} = T_{\overline{θ}u\overline{φ}v} = T\overline{θ}T\overline{φ}T_{u}T_{v} = T\overline{θ}T_{u}T\overline{φ}T_{v} + T\overline{θ}(T\overline{φ}T_{u} − T_{u}T\overline{φ})T_{v} \\ & = T_{f}T_{g} + T\overline{θ}(T\overline{φ}T_{u} − T_{u}T\overline{φ})T_{v} ∈ τ(f)τ(g) + com(τ(L^{∞}(𝕋))) \end{aligned}

und damit τ_{c}(fg) = τ_{c}(f)τ_{c}(g).

(b) Um zu beweisen, daß τ_{c} eine Isometrie ist, müssen wir nach Satz 2.11 nur noch zeigen, daß τ_{c} injektiv ist. Zu diesem Zweck beweisen wir

∀f ∈ L^{∞}(𝕋) :  ∥τ_{c}(f)∥ = inf_{K∈com(τ(L^{∞}(𝕋)))}∥T_{f} + K∥ ≥ ∥T_{f}∥ = ∥f∥_{∞} .  (4.4)

Da Q in L^{∞}(𝕋) dicht liegt, ist eine dichte Teilmenge von com(τ(L^{∞}(𝕋))) gegeben durch die Menge aller Operatoren der Form

K = ∑_{j=1}^{n} A_{j}(T_{u_{j} \overline{θ_{j}}}T_{v_{j} \overline{φ_{j}}} − T_{v_{j} \overline{φ_{j}}}T_{u_{j} \overline{θ_{j}}}) ∏_{k=1}^{m_{j}} T_{w_{j,k}\overline{ψ_{j,k}}}  (4.5)

mit n ∈ ℕ, mit A_{1}, …, A_{n} ∈ T (L^{∞}(𝕋)), mit m_{1}, …, m_{n} ∈ ℕ, mit inneren Funktionen θ_{j}, φ_{j}, ψ_{j,k} und mit H^{∞}(𝕋)–Funktionen u_{j}, v_{k}, w_{j,k} für j = 1, …, n, k = 1, …, m_{j}. Um (4.4) zu beweisen genügt es also zu zeigen, daß für alle Operatoren K wie in (4.5) gilt

∀f ∈ L^{∞}(𝕋) :  ∥T_{f} + K∥ ≥ ∥T_{f}∥ .  (4.6)

Seien also K wie in (4.5), f ∈ L^{∞}(𝕋) und ε > 0 beliebig gegeben und sei h ∈ H^{2}(𝕋) mit ∥h∥_{2} = 1 und ∥T_{f}h∥_{2} ≥ ∥T_{f}∥ − ε. Die Funktion

θ := ∏_{ν=1}^{n} (θ_{ν}φ_{ν} ∏_{μ=1}^{m_{ν}} ψ_{ν,μ})

ist als Produkt endlich vieler innerer Funktionen wieder eine innere Funktion. Man berechnet mit Lemma 4.5 unter Verwendung von

\overline{θ_{j}}θ_{j} = \overline{φ_{j}}φ_{j} = \overline{ψ_{j,k}}ψ_{j,k} = 1

für alle j = 1, …, n, k = 1, …, m_{j},

K(θh) = ∑_{j=1}^{n} A_{j}( ∏_{ν=1,ν≠j}^{n} (θ_{ν}φ_{ν} ∏_{μ=1}^{m_{ν}} ψ_{ν,μ}))(T_{u_{j}}T_{v_{j}} − T_{v_{j}}T_{u_{j}}) ∏_{k=1}^{m_{j}} T_{w_{j,k}} = 0,

da Toeplitzoperatoren mit H^{∞}(𝕋)-Symbolen paarweise kommutieren. Die Funktion fh können wir schreiben in der Form fh = h_{1} + h_{2} mit h_{1} = P (fh) = T_{f}h ∈ H^{2}(𝕋) und h_{2} ∈ H^{2}(𝕋)^{⊥}. Da θ eine innere Funktion ist, folgt θh_{1} ∈ H^{2}(𝕋) und θh_{1} ⊥ θh_{2}. Da also θh_{2} und (1−P)(θh_{2}) orthogonal zu θh_{1} sind, ist auch P (θh_{2}) = θh_{2} −(1−P)(θh_{2}) orthogonal zu θh_{1} = P (θh_{1}). Es folgt mit Pythagoras

\begin{aligned}∥T_{f}∥ − ε & ≤ ∥T_{f}h∥_{2} = ∥h_{1}∥_{2} = ∥θh_{1}∥_{2} \\ & ≤ ∥θh_{1} + P (θh_{2})∥_{2} = ∥P (θfh)∥_{2} = ∥T_{f}(θh)∥_{2} = ∥(T_{f} + K)(θh)∥_{2} . \end{aligned}

Für ε → 0 erhalten wir wie gewünscht die Aussage (4.6).

(c) Die Exaktheit der Sequenz gilt nun mit ρ := τ_{c}^{−1} ∘ π, wobei

π : T (L^{∞}(𝕋)) → T (L^{∞}(𝕋))/ com(τ(L^{∞}(𝕋)))  (4.7)

wieder der kanonische Epimorphismus sei. □

Satz 4.15. Für alle f ∈ L^{∞}(𝕋), g ∈ C(𝕋) sind die Operatoren T_{f}T_{g} − T_{fg}, T_{g}T_{f} − T_{fg} und T_{f}T_{g} − T_{g}T_{f} kompakt.

Beweis. (a) Wir beweisen zunächst die Kompaktheit des ersten dieser drei Operatoren. Da die trigonometrischen Polynome in C(𝕋) dicht liegen und das zweiseitige Ideal K(H^{2}(𝕋)) der kompakten Operatoren in L(H^{2}(𝕋) abgeschlossen ist, genügt es zu zeigen, daß für alle n ∈ ℤ der Operator T_{f}T_{e_{n}} − T_{fe_{n}} kompakt ist. Für n ≥ 0 folgt dies aus Lemma 4.5. Für n = −1 und alle h ∈ H^{2}(𝕋) gilt

\begin{aligned}T_{f}T_{e_{−1}}h & = P (fP (e_{−1}h)) = P (f(e_{−1}h − ĥ_{0}e_{−1})) = P (fe_{−1}h) − ĥ_{0}P (fe_{−1}) \\ & = T_{fe_{−}1}h − ĥ_{0}P (fe_{−1}) . \end{aligned}

Der Operator T_{f}T_{e_{−1}} − T_{fe_{−}1} ist also ein Operator mit eindimensionalem Bildraum und daher kompakt. Sei nun N ∈ ℕ und sei schon gezeigt, daß T_{f}T_{e_{n}} − T_{fe_{n}} für alle n ≥ −N, f ∈ L^{∞}(𝕋) kompakt ist. Dann folgt mit Lemma 4.5 für alle f ∈ L^{∞}(𝕋):

T_{f}T_{e_{−N−1}} − T_{fe_{−N−1}} = (T_{f}T_{e_{−N}} − T_{fe_{−N}})T_{e_{−1}} + (T_{fe_{−N}} T_{e_{−1}} − T_{(fe_{−N})e_{−1}})

und hieraus nach Induktionsvoraussetzung die Kompaktheit von T_{f}T_{e_{−N−1}} −T_{fe_{−N−1}}. Also ist T_{f}T_{e_{n}} − T_{fe_{n}} kompakt für alle n ∈ ℤ. Wie schon zuvor bemerkt, folgt hieraus die Kompaktheit von T_{f}T_{g} − T_{fg} für alle f ∈ L^{∞}(𝕋), g ∈ C(𝕋).

(b) Sind f ∈ L^{∞}(𝕋), g ∈ C(𝕋) beliebig, so folgt nach (a) die Kompaktheit von T\overline{f}T\overline{g} − T\overline{fg} und hieraus (da Adjungierte von kompakten Operatoren wieder kompakt sind) die Kompaktheit von T_{g}T_{f} − T_{fg} = (T\overline{f}T\overline{g} − T\overline{fg})^{∗}.

(c) Schließlich folgt aus (a) und (b) die Kompaktheit von

T_{f}T_{g} − T_{g}T_{f} = (T_{f}T_{g} − T_{fg}) − (T_{g}T_{f} − T_{fg})

für alle f ∈ L^{∞}(𝕋), g ∈ C(𝕋). □

Satz 4.16. Für das Kommutatorideal K von τ(C(𝕋)) in T (C(𝕋)) gilt:

K = K(H^{2}(𝕋)) ⊂ com(τ(L^{∞}(𝕋))).

Beweis. Nach dem vorhergehenden Satz ist K ⊆ K(H^{2}) und offensichtlich gilt

K ⊂ com(τ(L^{∞}(𝕋))).

Wir müssen also nur zeigen, daß K alle kompakten Operatoren aus L(H^{2}(𝕋)) enthält. Da sowohl K wie auch K(H^{2}(𝕋)) in L(H^{2}(𝕋)) bezüglich der Operatornorm abgeschlossen sind und die Menge F(H^{2}(𝕋)) der Operatoren mit endlich dimensionalen Bild in K(H^{2}(𝕋)) dicht liegt, genügt es F(H^{2}(𝕋)) ⊂ K zu beweisen. Die Operatoren aus L(H^{2}(𝕋)) mit endlich dimensionalem Bild haben die Gestalt

h ↦ ∑_{j=1}^{n}⟨h, f_{n}⟩g_{n}

mit n ∈ ℕ, f_{1}, …, f_{n}, g_{1}, …, g_{n} ∈ H^{2}(𝕋). Da die holomorphen Polynome in H^{2}(𝕋) dicht liegen, liegt auch die Menge aller Operatoren dieser Art mit holomorphen Polynomen f_{1}, …, f_{n}, g_{1}, …, g_{n} dicht in K(H^{2}(𝕋)). Jedes holomorphe Polynom ist endliche Linearkombination von Monomen e_{n}, n ∈ ℕ_{0}. Es genügt daher zu zeigen, daß alle Operatoren der Gestalt

A_{n,m} : h ↦ ⟨h, e_{n}⟩e_{m} = ĥ_{n}e_{m}

mit n, m ∈ ℕ_{0} in K enthalten sind. Direkte Rechnung zeigt

T_{e_{−1}}T_{e_{1}} − T_{e_{1}}T_{e_{−1}} = A_{0,0} : h ↦ ĥ_{0}1

und für alle n, m ∈ ℕ_{0}:

T_{e_{m}}(T_{e_{−1}}T_{e_{1}} − T_{e_{1}}T_{e_{−1}})T_{e_{−n}} = A_{n,m} : h ↦ ĥ_{n}e_{m} .

Damit folgt A_{n,m} ∈ K für alle n, m ∈ ℕ_{0} und der Satz ist bewiesen. □

Der kanonische Epimorphismus π in (4.7) läßt sich wegen K(H^{2}(𝕋)) ⊂ com(τ(L^{∞}(𝕋))) zerlegen in π = π_{2} ∘ π_{1} wobei jeweils

π_{1} : T (L^{∞}(𝕋)) → T (L^{∞}(𝕋))/K(H^{2}(𝕋))

und

π_{2} : T (L^{∞}(𝕋))/K(H^{2}(𝕋)) → T (L^{∞}(𝕋))/ com(τ(L^{∞}(𝕋)))

die kanonischen Epimorphismen bezeichne. Durch τ_{c}^{−1}∘π_{2} ist also ein unitaler ∗–Epimorphismus τ_{K} von T (L^{∞}(𝕋))/K(H^{2}(𝕋)) auf L^{∞}(𝕋) gegeben. Wir halten fest:

Folgerung 4.17. Es gibt einen unitalen ∗–Epimorphismus

τ_{K} : T (L^{∞}(𝕋))/K(H^{2}(𝕋)) → L^{∞}(𝕋)

mit ρ = τ_{K} ∘ π_{1}, ρ wie in Satz 4.14. Insbesondere gilt f = τ_{K} ∘ π_{1}(T_{f}) für alle f ∈ L^{∞}(𝕋).

Folgerung 4.18. Ist f ∈ L^{∞}(𝕋) eine Funktion für die T_{f} ein Fredholmoperator ist, so ist f in L^{∞}(𝕋) invertierbar. Für alle f ∈ L^{∞}(𝕋) gilt

ess ran f ⊆ σ_{e}(T_{f}) := σ_{Q}(T_{f} + K(H^{2}(𝕋))) .

Da ein Operator genau dann ein Fredholmoperator ist, wenn er modulo der kompakten Operatoren (also seine Restklasse in der Calkin–Algebra) invertierbar ist, folgt dies unmittelbar aus Folgerung 4.17.

Folgerung 4.19. Ist T_{f} ein kompakter Operator, f ∈ L^{∞}(𝕋), so ist schon f = 0 m–fast überall.

Folgerung 4.20 (L.A. Coburn). Die kurze Sequenz

{0} ⟶ K(H^{2}(𝕋)) ↪ T (C(𝕋)) ⟶ C(𝕋) ⟶ {0}

ist exakt. Insbesondere ist τ_{K}|C(𝕋) : C(𝕋) → T (C(𝕋))/K(H^{2}(𝕋)) ein isometrischer ∗– Isomorphismus.

Beweis. Nach der vorhergehenden Folgerung ist τ_{K}|C(𝕋) injektiv und wegen Lemma 4.1 und Satz 4.15 ein unitaler ∗-Isomorphismus. □

Bemerkung 4.21. Nach Satz 4.15 ist die C^{∗}–Algebra T (C(𝕋))/K(H^{2}(𝕋)) eine C^{∗}– Unteralgebra des Zentrums von T (L^{∞}(𝕋))/K(H^{2}(𝕋)).

Wir können daher das lokale Prinzip für C^{∗}-Algebren aus Kapitel 2 anwenden. Dieses werden wir im übernächsten Abschnitt ausführen. Zuvor wollen wir den Index für Fredholmoperatoren mit stetigen Symbolen angeben. Hierzu benötigen wir die Einführung der Windungszahl stetiger Wege bezüglich eines nicht auf der Spur des Weges liegenden Punktes mit Hilfe einer stetigen Argumentfunktion (vergl. z.B. [30]).

Satz 4.22 (Satz vom stetigen Argument). Sei γ : [a, b] → ℂ ein stetiger Weg in ℂ und sei λ ∈ ℂ \ γ([a, b]). Dann gibt es eine stetige Funktion α : [a, b] → ℝ mit

∀t ∈ [a, b] :  γ(t) − λ = |γ(t) − λ|e^{iα(t)}.  (4.8)

Wir nennen α eine stetige Argumentfunktion für γ−λ. Je zwei stetige Argumentfunktionen für γ − λ unterscheiden sich höchstens durch ein konstantes, ganzzahliges Vielfaches von 2π.

Beweis. Sei ρ := dist(λ, γ([a, b])). Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von γ auf [a, b] gibt es ein δ > 0 mit

∀t, s ∈ [a, b] : |t − s| < δ ⟹ |γ(s) − λ − (γ(t) − λ)| = |γ(s) − γ(t)| < ρ.

Zu δ existiert eine endliche Zerlegung a = t_{0} < t_{1} < … < t_{n} = b von [a, b] mit t_{j} −t_{j−1} < δ für j = 1, …, n. Insbesondere ist γ([a, b]∩[a, t_{1}])−λ eine kompakte Teilmenge der offenen Kreisscheibe U_{ρ}(γ(a) − λ) und 0 ∉ U_{ρ}(γ(a) − λ). Auf dieser Kreisscheibe existiert also ein (bis auf ein ganzes Vielfaches von 2πi eindeutig bestimmter) holomorpher Zweig L_{1} der Logarithmusfunktion. Wir definieren

∀t ∈ [a, t_{1}] : α(t) := −i(L_{1}(γ(t) − λ) − log |γ(t) − λ|).

Dann ist α auf [a, t_{1}] stetig und erfüllt

∀t ∈ [a, t_{1}] : γ(t) − λ = |γ(t) − λ|e^{iα(t)}.

Sind nun für ein k ∈ ℕ mit 1 ≤ k ≤ n − 1 holomorphe Zweige L_{j}, j = 1, …, k, der Logarithmusfunktion gefunden, so daß die durch

∀t ∈ [t_{j−1}, t_{j}] : α(t) := −i(L_{j}(γ(t) − λ) − log |γ(t) − λ|). j = 1, …, k,

definierte Funktion α : [a, t_{k}] → ℝ stetig ist und

∀t ∈ [a, t_{k}] :  γ(t) − λ = |γ(t) − λ|e^{iα(t)}  (4.9)

gilt, so gibt es auf U_{k} := U_{ρ}(γ(t_{k}) − λ) (wegen 0 ∉ U_{k}) einen eindeutig bestimmten Zweig L_{k+1} des Logarithmus mit

L_{k+1}(γ(t_{k}) − λ) = L_{k}(γ(t_{k}) − λ).

Da γ([t_{k}, t_{k+1}]) eine kompakte Teilmenge von U_{k} ist, ist die auf [t_{k}, t_{k−1}] durch

α(t) := −i(L_{k+1}(γ(t) − λ) − log |γ(t) − λ|)

für t_{k} ≤ t ≤ t_{k+1} fortgesetzte Funktion α auf [a, t_{k+1}] stetig und erfüllt (4.9) für k + 1 statt k. Schließlich erhalten wir nach endlich vielen Schritten eine auf [a, b] = [a, t_{n}] stetige Funktion mit (4.8). Die Eindeutigkeitsaussage ist dann klar. □

Insbesondere ist in der Situation dieses Satzes der Argumentzuwachs α(b) − α(a) unabhängig von der speziellen stetigen Argumentfunktion.

Folgerung 4.23. : Ist γ : [a, b] → ℂ ein geschlossener Weg (d.h. mit γ(a) = γ(b)) und λ ∈ ℂ \ γ([a, b]), so gibt es ein von der speziellen stetigen Argumentfunktion α aus Satz 4.22 unabhängiges n ∈ ℤ mit α(b) − α(a) = 2nπ. n heißt die Windungszahl oder Umlaufzahl von γ bezüglich λ und wird mit n(γ, λ) bezeichnet.

Man kann zeigen, daß die so definierte Windungszahl mit der z.B. in [38, 2] definierten Windungszahl übereinstimmt (siehe [2], Lemma 5.8). Insbesondere gilt für rektifizierbare oder sogar stückweise glatte, geschlossene Wege γ die bekannte Formel

n(γ, λ) = \frac{1}{2πi} ∫_{γ} \frac{1}{z − λ} dz.

Ist f ∈ C(𝕋) und λ ∉ f(𝕋) so definieren wir n(f, λ) := n(γ_{f}, λ) wobei γ_{f} : [0, 2π] → ℂ der durch γ_{f}(t) := f(e^{it}), t ∈ [0, 2π], definierte stetige Weg sei.

Die Operatoren T_{z} und T_{z}^{∗} = T\overline{z} = T_{e_{−1}} sind offensichtlich Fredholmoperatoren mit codim ranT_{z} = 1 = dim ker T\overline{z} und ker T_{z} = \{0\}, ranT\overline{z} = H^{2}(𝕋), d.h. mit ind T_{z} = −1 und ind T\overline{z} = 1. Nach dem Satz von Atkinson (siehe z.B. Satz 10.8 in [3]) sind dann für alle n ∈ ℕ_{0} auch die Operatoren T_{e_{n}} = T_{z}^{n} und T_{e_{−n}} = T n ; \overline{z} Fredholmoperatoren vom Index ind T_{e_{n}} = −n, ind T_{e_{−n}} = n.

Satz 4.24. Sei f ∈ C(𝕋). Genau dann ist T_{f} ein Fredholmoperator auf H^{2}(𝕋), wenn f keine Nullstelle besitzt, d.h. wenn f in C(𝕋) invertierbar ist. Ist dies der Fall, so gilt

ind T_{f} = −n(f, 0).

Beweis. Nach Folgerung 4.20 ist T_{f} genau dann ein Fredholmoperator, also^{1} seine Restklasse in der Calkin–Algebra L(HH^{2}(𝕋))/K(H^{2}(𝕋)) invertierbar, wenn f in C(𝕋) invertierbar ist, also keine Nullstellen besitzt. Sei nun f ∈ C(𝕋) mit 0 ∉ f(𝕋) und sei n := n(f, 0). Dann gilt nach Satz 4.22 und Folgerung 4.23

f(e^{it}) = r(t)e^{iα(t)} (t ∈ [0, 2π]),

mit einer stetigen Argumentfunktion α : [0, 2π] → ℝ, α(2π) − α(0) = 2nπ und r(t) := log |f(e^{it})| für alle t ∈ [0, 2π]. Wir definieren eine Homotopie h : [0, 1] → C(𝕋) mit h(0) = f und h(1) = e_{n} durch

h(s, e^{it}) := r(t)^{1−s} exp (i (snt + (1 − s)α(t))) für 0 ≤ s ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 2π .

Mit β(s, t) := snt+(1−s)α(t) gilt β(s, 2π)−β(s, 0) = 2nπ. Da auch r(0)^{(1−s)} = r(2π)^{(1−s)} und r(t)^{(1−s)} ≠ 0 gilt, ist s ↦ h(s, ·) eine C(𝕋)-wertige Funktion ist, die ihre Werte in der offenen Menge der invertierbaren Elemente von C(𝕋) annimmt. Man weist leicht nach, daß h ∈ C([0, 1], C(𝕋)) gilt. Insbesondere ist dann die operatorwertige Funktion s ↦ T_{h(s,·)} stetig mit Werten in den Fredholmoperatoren auf H^{2}(𝕋). Wegen der Stetigkeit des Indexes (siehe z.B. [3], Folgerung 10.13) folgt

1Siehe z.B. [3], Folgerung 10.20.

ind T_{f} = ind T_{h(0,·)} = ind T_{h(1,·)} = ind T_{e_{n}} = −n = −n(f, 0)

und damit die Behauptung. □

Zusammen mit Satz 4.13 ergibt sich:

Folgerung 4.25. Ist f ∈ C(𝕋), so ist T_{f} genau dann invertierbar, wenn f keine Nullstelle besitzt und n(f, 0) = 0 gilt.

Folgerung 4.26. Ist f ∈ C(𝕋), so gilt

σ(T_{f}) = f(𝕋) ∪ {λ ∈ ℂ \ f(𝕋) ; n(f, λ) ≠ 0}  und  σ_{e}(T_{f}) = f(𝕋).

4.3. Zusammenhang des wesentlichen Spektrums

Ziel dieses Abschnitts ist zu zeigen daß das wesentliche Spektrum und das Spektrum von Toeplitzoperatoren auf H^{2}(𝕋) zusammenhängend ist.

Im folgenden sei f ∈ L^{∞}(𝕋) beliebig aber fest. Für n ∈ ℤ bezeichnen wir mit ρ_{n}(T_{f}) die Menge aller λ ∈ ℂ für die λ−T_{f} ein Fredholmoperator vom Index n ist. Nach Satz 4.13 gilt

σ(T_{f}) = σ_{e}(T_{f}) ∪ ⋃_{0≠n∈ℤ}ρ_{n}(T_{f}).

Die Mengen ρ_{n}(T_{f}), n ∈ ℤ, sind offen und paarweise disjunkt. Für z ∈ ρ_{n}(T_{f}) ist mit λ − T_{f} auch der Operator

T_{(λ−f)e_{n}} = \begin{cases}(λ − T_{f})T_{e_{n}} & für n ≥ 0 \\ T_{e_{n}}(λ − T_{f}) & für n < 0 \end{cases}  (4.10)

nach dem Satz von Atkinson ein Fredholmoperator vom Index 0 und daher nach Satz 4.13 invertierbar. Da die Funktion λ − f in L^{∞}(𝕋) invertierbar ist (wegen ess ran f ⊆ σ_{e}(T_{f}) nach Folgerung 4.18) ist nach Folgerung 4.12 auch T_{1/(λ−f)} ein Fredholmoperator und ind T_{1/(λ−f)} = −n. Daher ist auch T_{e_{−n}/(λ−f)} ein Fredholmoperator vom Index 0 und somit invertierbar. Die L(H^{2}(𝕋))-wertigen Funktionen λ ↦ T_{(λ−f)e_{n}} und λ ↦ T_{e_{−n}/(λ−f)} sind auf der offenen Menge ρ_{n}(T_{f}) holomorph, also gilt dies auch für die H^{2}(𝕋)–wertigen Funktionen

λ ↦ u_{λ} := T_{(λ−f)e_{n}}^{−1}1 und λ ↦ v_{λ} := T_{e_{−n}/(λ−f)}^{−1}1 .  (4.11)

Die durch

U(λ, z) := û_{λ}(z) , V (λ, z) := û_{λ}(z) (λ ∈ ρ_{n}(T_{f}), z ∈ 𝔻)  (4.12)

auf ρ_{n}(T_{f}) × 𝔻 definierten Funktionen U, V sind dann getrennt holomorph und somit nach dem Satz von Hartogs aus der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher beliebig oft stetig komplex differenzierbar.

Im folgenden Lemma fassen wir einige Eigenschaften der so konstruierten Funktionen zusammen.

Lemma 4.27. Für die in (4.11) und (4.12) eingeführten Funktionen gilt:

(a) Für alle λ ∈ ρ_{n}(T_{f}) ist u_{λ}v_{λ} = 1.

(b) Für alle λ ∈ ρ_{n}(T_{f}), z ∈ 𝔻 ist U(λ, z)V (λ, z) = 1.

(c) U(·, z) genügt für alle z ∈ 𝔻 der Differentialgleichung

\frac{d}{dλ}U(λ, z) = −U(λ, z) ; P (\frac{1}{λ − f} )(z) .  (4.13)

(d) Ist h ∈ H^{∞}(𝕋) und w_{λ} := u_{λ}P (\frac{e_{−n}h}{λ−f}) für alle λ ∈ ρ_{n}(T_{f}), so gilt w_{λ} ∈ H^{2}(𝕋) und T_{e_{n}(λ−f)}w_{λ} = h.

(e) Ist λ_{0} ein fester Punkt aus ρ_{n}(T_{f}) und ist λ ein beliebiger Punkt aus der den Punkt λ_{0} enthaltenden Zusammenhangskomponente Ω_{0} von ρ_{n}(T_{f}), so gilt für jeden stückweise glatten Weg γ_{λ} in Ω_{0} mit Anfangspunkt λ_{0} und Endpunkt λ und alle z ∈ 𝔻:

\begin{aligned}U(λ, z) & = U(λ_{0}, z) exp ( − ∫_{γ_{λ}} ; P (\frac{1}{μ − f} )(z) dμ) \\ V (λ, z) & = V (λ_{0}, z) exp ( ∫_{γ_{λ}} ; P (\frac{1}{μ − f} )(z) dμ) . \end{aligned}

Beweis. (a) Wegen P (e_{n}(λ − f))u_{λ} = T_{e_{n}(λ−f)}u_{λ} = 1 und P (e_{−n}/(λ − f))v_{λ} = T_{e_{−n}/(λ−f)}v_{λ} = 1 gibt es für alle λ ∈ ρ_{n}(T_{f}) Funktionen a_{λ}, b_{λ} ∈ L^{2}(𝕋) ⊖ H^{2}(𝕋) mit

e_{n}(λ − f)u_{λ} = 1 + a_{λ}  (4.14)

und

\frac{e_{−n}v_{λ}}{λ − f} = 1 + b_{λ} .  (4.15)

Multiplikation dieser beiden Gleichungen ergibt

u_{λ}v_{λ} = 1 + a_{λ} + b_{λ} + a_{λ}bλ .

Hierbei ist die linke Seite in H^{1}(𝕋) und die Funktion a_{λ} + b_{λ} + a_{λ}bλ konjugiert komplex zu einer Funktion aus H_{0}^{1}(𝕋). Daher muß (a) gelten.

(b) folgt mit Lemma 3.14 aus (a).

(c) Nach (4.14) gilt e_{n}(λ − f)u_{λ} − 1 = a_{λ}, wobei beide Seiten bezüglich λ holomorphe L^{2}(𝕋)-wertige Funktionen mit Werten in dem abgeschlossenen Unterraum L^{2}(𝕋) ⊖ H^{2}(𝕋) von L^{2}(𝕋) sind. Differentiation nach λ ergibt

e_{n}u_{λ} + e_{n}(λ − f)\frac{du_{λ}}{dλ} = \frac{da_{λ}}{dλ}

und somit

u_{λ} = −(λ − f)\frac{du_{λ}}{dλ} + e_{−n} \frac{da_{λ}}{dλ} .

Multiplikation dieser Gleichung mit v_{λ}/(λ − f) liefert wegen (a) und (4.15):

\frac{1}{λ − f} = −v_{λ} \frac{du_{λ}}{dλ} + \frac{e_{−n}v_{λ}}{λ − f} \frac{da_{λ}}{dλ} = −v_{λ} \frac{du_{λ}}{dλ} + (1 + b_{λ})\frac{da_{λ}}{dλ} .

Hierbei ist die linke Seite in L^{∞}(𝕋) ⊂ L^{2}(𝕋), der erste Summand der rechten Seite in H^{1}(𝕋) und der zweite wieder konjugiert komplex zu einer Funktion aus H_{0}^{1}(𝕋). Es folgt

P (\frac{1}{λ − f} ) = −v_{λ} \frac{du_{λ}}{dλ}

und hieraus nach Multiplikation mit u_{λ} wegen (a):

\frac{du_{λ}}{dλ} = −P (\frac{1}{λ − f} )u_{λ} .

Für alle z ∈ 𝔻 wenden wir hierauf die Evaluationsabbildung E_{z} an. Da diese stetig und linear ist, vertauscht sie mit der Differentiation nach λ und wir erhalten (4.13).

(d) Zu der H^{2}(𝕋)–Funktion w_{λ} := T_{e_{n}(λ−f)}^{−1}h gibt es eine Funktion c ∈ H_{0}^{2}(𝕋) mit e_{n}(λ − f)w_{λ} = h + \overline{c}. Multiplikation mit \frac{e_{−n}v_{λ}}{λ−f} ergibt nach (4.15):

v_{λ}w_{λ} = \frac{e_{−n}v_{λ}h}{λ − f} + \overline{c}(1 + b_{λ}) .

Hierbei liegt die linke Seite in H^{1}(𝕋), der erste Summand der rechten Seite in L^{2}(𝕋) und \overline{c}(1 + b_{λ}) ist konjugiert komplex zu einer Funktion aus H_{0}^{1}(𝕋). Daher folgt v_{λ}w_{λ} = P (\frac{e_{−n}v_{λ}h}{λ−f}) ∈ H^{2}(𝕋). Multiplikation mit u_{λ} liefert wegen (a) die Behauptung.

(e) Die Behauptung für V folgt mit Hilfe von (b) aus der für U. Die Behauptung für U ergibt sich aus (c) unter Anwendung des folgenden Lemmas aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen in ℂ (für alle z ∈ 𝔻). □

Lemma 4.28. Sei Ω ⊆ ℂ ein Gebiet in ℂ und F ∈ O(Ω). Ist φ ∈ O(Ω) eine Lösung der linearen gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung

φ′(λ) = F (λ)φ(λ)

in Ω, so gilt für jeden stückweise stetig differenzierbaren Weg γ : [a, b] → Ω in Ω:

φ(γ(b)) = φ(γ(a)) exp ( ∫_{γ} F (μ) dμ) .

Beweis. Besitzt φ eine Nullstelle λ_{0} in Ω, so folgt nach dem lokalen Existenz– und Eindeutigkeitssatz^{2} φ ≡ 0 in einer Umgebung von λ_{0} und somit nach dem Identitätssatz φ ≡ 0 auf Ω.

Sei nun φ nullstellenfrei und sei γ : [a, b] → Ω ein beliebiger stückweise stetig differenzierbarer Weg in Ω. Für a ≤ s ≤ b sei γ_{s} := γ|_{[a,s]} und

h(s) := φ(γ(a)) exp ( ∫_{γ_{s}} F (μ) dμ) .

Dann ist h : [a, b] → ℂ stetig und daher die Menge

J := {s ∈ [a, b] ; φ(γ(s)) = h(s)}

abgeschlossen in [a, b]. Wegen a ∈ J ist die Menge J nicht leer. Wir zeigen, daß sie auch relativ offen in [a, b] ist. Ist dies gezeigt, so folgt J = [a, b] und das Lemma ist bewiesen.

Sei also s ∈ J beliebig und daher

φ(γ(s)) = h(s) = φ(γ(a)) exp ( ∫_{γ_{s}} F (μ) dμ) =: w_{s} .

Nach dem Existenz und Eindeutigkeitssatz für gewöhnliche Differentialgleichungen gibt es eine in Ω enthaltene Kreisscheibe U_{s} von γ(s), so daß die Anfangswertaufgabe

y′(λ) = F (λ)y(λ) , y(γ(s)) = w_{0}

genau eine in U_{s} holomorphe Lösung besitzt. Diese muß dann mit φ|_{U_{s}} übereinstimmen. Eine Stammfunktion G für F auf U_{s} mit F (γ(s)) ist gegeben durch

G(λ) = ∫_{σ_{λ}} F (μ) dμ

für λ ∈ U_{s}, wobei σ_{λ} ein beliebiger stückweise glatter, ganz in U_{s} verlaufender Weg mit Anfangspunkt γ(s) und Endpunkt λ sei. Hierbei ist der Wert G(λ) unabhängig von der speziellen Wahl des Weges (siehe z.B. [2], Kapitel 3). Die Funktion λ ↦ w_{0}e^{G(z)} ist dann ebenfalls eine Lösung der obigen Anfangswertaufgabe und muß daher auf U_{s} mit φ übereinstimmen. Zu U_{s} gibt es ein δ > 0 mit γ(τ) ∈ U_{s} für alle τ ∈ [a, b] mit s − δ < τ < s + δ. Definieren wir also für s ≤ τ ≤ min{s + δ, b}:

σ_{γ(τ)}(t) := γ(t) für s ≤ t ≤ τ

bzw.

σ_{γ(τ)}(t) := γ(s − (t − τ)) für τ ≤ t ≤ s,

2Zum Beweis des Existenz und Eindeutigkeitssatzes im Komplexen siehe z.B. [45].

so folgt für alle τ ∈ [a, b] mit s − δ < τ < s + δ

φ(γ(τ)) = w_{0}e^{G(γ(τ)} = φ(γ(a)) exp ( ∫_{γ_{s}} F (μ) dμ) exp ( ∫_{σ_{γ(τ)}} F (μ) dμ)
= φ(γ(a)) exp ( ∫_{γ_{τ}} F (μ) dμ)

und daher τ ∈ J. Wie oben bemerkt wurde, folgt hieraus die Behauptung. □

Wir können nun zeigen, daß das wesentliche Spektrum von Toeplitzoperatoren zusammenhängend ist.

Satz 4.29 (Douglas, [17]). Für alle f ∈ L^{∞}(𝕋) ist das wesentliche Spektrum σ_{e}(T_{f}) von T_{f} ist zusammenhängend.

Beweis. (a) Wir zeigen zunächst: Ist γ : [a, b] → ℂ ein einfach geschlossener Weg, der ganz in der wesentlichen Resolventenmenge von T_{f} verläuft, so liegt der wesentliche Wertebereich von f entweder ganz im Innern von γ oder ganz im Äußeren von γ.

Beweis zu (a): Da die Spur γ([a, b]) von γ zusammenhängend ist, gibt es ein n ∈ ℤ, so daß sie in einer Zusammenhangskomponente Ω_{0} von ρ_{n}(T_{f}) liegt. Nach Lemma 4.27 gilt mit λ_{0} := γ(a) für alle z ∈ 𝔻:

U(λ_{0}, z) = U(γ(b), z) = U(λ_{0}, z) exp ( − ∫_{γ} ; P (\frac{1}{μ − f} )(z) dμ) .

Für alle z ∈ 𝔻 mit U(λ_{0}, z) ≠ 0 folgt daher

\frac{1}{2πi} ∫_{γ} ; P (\frac{1}{μ − f} )(z) dμ ∈ ℤ.

Da die Funktion U(λ_{0}, ·) = û_{λ_{0}} nach Definition von u_{λ_{0}} nicht identisch verschwindet, gilt dies auf einer dichten Teilmenge von 𝔻. Wegen der Stetigkeit der Funktion z ↦ F (z) := \frac{1}{2πi} ∫_{γ} ; P (\frac{1}{μ−f} )(z) dμ auf 𝔻 ist dies nur möglich, wenn F konstant gleich einer ganzen Zahl N ist.

Für m-fast alle z ∈ 𝕋 liegt wegen ess ran f ⊆ σ_{e}(T_{f}) der Punkt f(z) nicht auf der Spur von γ und man hat

ψ(z) := \frac{1}{2πi} ∫_{γ} \frac{1}{μ − f(z)} dμ = n(γ, f(z)) .

Die so m-fast überall definierte Funktion ψ nimmt nur die Werte 0 oder 1 an und liegt somit in L^{∞}(𝕋). Wegen der Stetigkeit der orthogonalen Projektion P auf H^{2}(𝕋) gilt

P ψ = P (\frac{1}{2πi} ∫_{γ} \frac{1}{μ − f(z)} dμ) = \frac{1}{2πi} ∫_{γ} P (\frac{1}{μ − f} ) dμ .

Daher ist P̂ ψ = F auf 𝔻 konstant und somit auch ψ auf 𝕋 m-fast überall gleich einer Konstanten. Da ψ m-fast überall nur die Werte 0 oder 1 annimmt, gilt entweder n(γ, w) = 0 für alle w ∈ ess ran f oder n(γ, w) = 1 für alle w ∈ ess ran f. Damit ist die Behauptung (a) bewiesen.

(b) Sei nun σ_{e}(T_{f}) = σ_{1} ∪ σ_{2} mit abgeschlossenen Mengen σ_{1}, σ_{2} und gelte σ_{1} ∩ σ_{2} = ∅ sowie (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) σ_{2} ∩ ess ran f ≠ ∅. Dann gibt es eine offene Menge E, die durch endlich viele, einfach geschlossene, stückweise glatte Jordankurven γ_{1}, …, γ_{k} berandet ist, die sich aus achsenparallelen Geradenstücken zusammen setzen, so daß ∂E ∩ σ_{e}(T_{f}) = ∅ und σ_{1} ⊂ E sowie σ_{2} ∩ \overline{E} = ∅ gilt. Wir machen nun die Annahme, daß auch σ_{1} nicht leer ist und fixieren zwei Punkte λ_{1} ∈ σ_{1} und λ_{2} ∈ σ_{2} ∩ ess ran f.

Dann folgt n(γ_{j}, λ_{1}) ≠ n(γ_{j}, λ_{2}) für wenigstens ein j ∈ {1, …, k} und somit nach (a) n(γ_{j}, λ_{1}) ≠ n(γ_{j}, λ) für alle λ ∈ ess ran f. Ist n(γ_{j}, z_{2}) = 0, so liegt ess ran f im Äußeren des von γ := γ_{j} berandeten einfach zusammenhängenden Gebiets G und es ist z_{1} ∈ G. Ist hingegen n(γ_{j}, z_{2}) = 1 so liegt z_{1} in der unbeschränkten Zusammenhangskomponente des Komplements von ess ran f. Ist K die abgeschlossene Kreisscheibe um 0 mit Radius ∥f∥_{∞} = r(T_{f}), so ist σ_{e}(T_{f}) ⊆ K und K ∩ess ran f ≠ ∅. Man überlegt sich, daß dann auch in diesem Fall ein einfach geschlossener Weg γ existiert, so daß z_{1} in dem von γ berandeten, einfach zusammenhängenden Gebiet G liegt und n(γ, λ) = 0 für alle λ ∈ ess ran f gilt. Dies führt zu einem Widerspruch, denn wir zeigen nun

(c)Ist γ : [a, b] → ℂ ein einfach geschlossener, stückweise stetig differenzierbarer Weg, dessen Spur in ρ_{n}(T_{f}) enthalten ist und für den ess ran f im Außenbereich liegt, so liegt auch das von γ berandete einfach zusammenhängende Gebiet G in ρ_{n}(T_{f}).

Beweis zu (c): Zur vorgegebenen Situation gibt es noch ein einfach zusammenhängendes Gebiet Ω mit \overline{G} ⊂ Ω und Ω \ G ⊂ ρ_{n}(T_{f}). Sei λ_{0} ein fester Punkt aus γ([a, b]). Für alle λ ∈ Ω sei γ_{λ} ein stückweise glatter Jordanbogen mit Anfangspunkt λ_{0} und Endpunkt λ. Wir definieren für alle ζ ∈ 𝔻 (mit U, V wie in (4.12)):

\begin{aligned}U_{0}(λ, z) & = U(λ_{0}, z) exp ( − ∫_{γ_{λ}} ; P (\frac{1}{μ − f} )(z) dμ) \\ V_{0}(λ, z) & = V (λ_{0}, z) exp ( ∫_{γ_{λ}} ; P (\frac{1}{μ − f} )(z) dμ) . \end{aligned}

Da der Integrand des Integrals jeweils für alle z ∈ 𝔻 auf Ω bezüglich μ holomorph ist und da Ω einfach zusammenhängend ist, sind die Funktionen U_{0}, V_{0} hierdurch auf Ω × 𝔻 wohldefiniert und getrennt holomorph, also auch holomorph. Da eine Umgebung von γ([a, b]) in ρ_{n}(T_{f}) liegt folgt nach Lemma 4.27 für alle λ aus dieser Umgebung und alle z ∈ 𝔻:

U_{0}(λ, z) = U(λ, z) = û_{λ}(z) und V_{0}(λ, z) = V (λ, z) = v̂_{λ}(z) .

Nach Lemma 3.26 gibt es also holomorphe H^{2}(𝕋)–wertige Funktionen λ ↦ u_{0,λ}, λ ↦ v_{0,λ} auf Ω mit U(λ, z) = û_{0,λ}(z), V_{0}(λ, z) = v̂_{0,λ}(z) für alle λ ∈ Ω, z ∈ 𝔻. Für diese gilt insbesondere u_{0,λ} = u_{λ} und v_{0,λ} = v_{λ} und somit nach Definition von u_{λ}, v_{λ} auch

T_{e_{n}(λ−f)}u_{0,λ} = T_{e_{n}(λ−f)}u_{λ} = 1

und

T_{e_{−n}/(λ−f)}v_{0,λ} = T_{e_{−n}/(λ−f)}v_{λ} = 1

für alle λ aus einer Umgebung von γ([a, b]). Nach dem Identitätssatz folgt

T_{e_{n}(λ−f)}u_{0,λ} = 1 und T_{e_{−n}/(λ−f)}v_{0,λ} = 1

für alle λ ∈ Ω. Sei nun h ∈ H^{∞}(𝕋) beliebig. Dann ist die Funktion W_{h} mit

W_{h}(λ, z) := U_{0}(λ, z)P ; (\frac{e_{−n}v_{0,λ}}{λ − f} h)(z) (λ ∈ Ω, z ∈ 𝔻)

auf Ω × 𝔻 holomorph und auf einer Umgebung von γ([a, b]) gilt nach Teil (d) von Lemma 4.27 W_{h}(λ, z) = ŵ_{λ}(z), (z ∈ 𝔻), mit

u_{0,λ}P (\frac{e_{−n}h}{λ − f} ) = u_{λ}P (\frac{e_{−n}h}{λ − f} ) = w_{λ} ∈ H^{2}(𝕋)

und T_{e_{n}(λ−f)}w_{λ} = h. Nach Lemma 3.26 gibt es eine auf ganz Ω holomorphe Funktion λ ↦ w_{h,λ} mit ŵ_{h,λ}(z) = W_{h}(λ, z) für alle λ ∈ Ω, z ∈ 𝔻 und es gilt für alle λ ∈ G:

∥w_{h,λ}∥_{2} ≤ sup_{μ∈∂G} ∥w_{λ}∥_{2} = sup_{μ∈∂G} ∥T_{e_{n}(μ−f)}^{−1}∥ · ∥h∥_{2} .  (4.16)

Sei nun g ∈ H^{2}(𝕋) beliebig und (h_{k})_{k=1}^{∞} ein bezüglich ∥ · ∥_{2} gegen g konvergente Folge aus H^{∞}(𝕋). Die Folge (w_{h_{k},λ})_{k=1}^{∞} der zu h_{k} gehörigen Funktionen ist dann wegen (4.16) für alle λ ∈ G eine Cauchyfolge in H^{2}(𝕋) und somit gegen eine Funktion w_{g,λ} ∈ H^{2}(𝕋) konvergent und es folgt T_{e_{n}(λ−f)}w_{g,λ} = g. Dies zeigt, daß T_{e_{n}(λ−f)} für alle λ ∈ Ω surjektiv ist. Indem man die gleichen Argumente für die konjugiert komplexen Werte \overline{λ} ∈ Ω^{∗} := \{\overline{μ}; μ ∈ Ω\} für die zu f konjugiertkomplexe Funktion \overline{f} durchführt sieht man, daß auch T_{e_{n}(λ−f)}^{∗} = T_{e_{−n}(\overline{λ}−\overline{f})} surjektiv ist und somit T_{e_{n}(λ−f)} invertierbar ist für alle λ ∈ Ω. Da T_{e_{n}} ein Fredholmoperator vom Index −n ist, folgt mit (4.10), daß λ − T_{f} = T_{λ−f} für alle λ ∈ Ω ein Fredholmoperator vom Index n ist. Insbesondere ist Ω Teilmenge der wesentlichen Resolventenmenge von T_{f}. Damit ist der Satz bewiesen. □

Als Folgerung erhalten wir, daß auch das Spektrum von T_{f} für f ∈ L^{∞}(𝕋) zusammenhängend ist.

Folgerung 4.30 (Widom, 1964/66). Für alle f ∈ L^{∞}(𝕋) ist σ(T_{f}) zusammenhängend.

Beweis. Nach dem Satz von Douglas ist σ_{e}(T_{f}) zusammenhängend. Auf jeder Zusammenhangskomponente der wesentlichen Resolventenmenge ist λ−T_{f} ein Fredholmoperator mit bezüglich λ konstantem Index. Da σ(T_{f}) aus der zusammenhängenden Menge σ_{e}(T_{f}) durch Hinzunahme aller Zusammenhangskomponenten mit von 0 verschiedenem Index entsteht, ist auch σ(T_{f}) zusammenhängend. □

Übungsaufgaben zu Kapitel 4

Aufgabe 4.1. Sei A ∈ L(H), H ein Hilbertraum. Zeigen Sie: Gibt es Konstante c, c_{∗} ∈ (0, ∞) so daß für alle x ∈ H gilt: ∥Ax∥ ≥ c∥x∥ und ∥A^{∗}x∥ ≥ c_{∗}∥x∥, so ist A in L(H) invertierbar.

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Index

μ–Nullfunktion, 20 äußere Funktion, 29

approximative Eins, 12 beschränkte, 12 linke, 12 rechte, 12 zweiseitige, 12

Arithmetik innerer Funktionen, 40

Banachalgebra vektorwertiger Funktionen auf einem kompakten Hausdorffraum K über einer abgeschlossenen Unteralgebra von C(K), 8

oberhalb halbstetige, 8

stetige, 8 Beurling

Satz von, 26

C^{∗}–Algebra, 11 Calkin-Algebra, 15 Corona-Theorem, 28

Douglas-Algebra, 36

Fixidealeigenschaft, 9 fixiertes Ideal, 9 freies Ideal, 9 Funktion

äußere, 29

innere, 25

operatormonotone, 12

größter gemeinsamer Teiler innerer Funktionen, 41

halbeinfach, 8, 16 Hardy–Raum H^{p}(𝕋), 20 hermitesches Element einer C^{∗}–Algebra, 12

Ideal fixiertes, 9 freies, 9

innere Funktion, 25 invarianter Unterraum

reduzierender, 21

vollständig nicht reduzierender, 22 Involution, 11 kleinstes gemeinsames Vielfaches innerer

Funktionen, 41 Kommutator, 17 Kommutatorideal, 17

linksreguläre Darstellung, 11

operatormonotone Funktion, 12

positives Element einer C^{∗}–Algebra, 12

Radikal, 7

rechtsreguläre Darstellung, 11

reduzierender invarianter Unterraum, 21

Satz Corona-Theorem, 28 vom stetigen Argument, 50 von Beurling, 26 von Brown und Halmos, 44 von Chang und Marshall, 36 von Coburn, 50 von Douglas, 55 von F. und M. Riesz, 26 von Hartman und Wintner, 44 von Widom, 57 von Wintner, 46

stetige Argumentfunktion, 50

Teiler einer inneren Funktion, 40

Toeplitz–Algebra, 47 Toeplitzoperator, 43

vollständig nicht reduzierender invarianter Unterraum, 22

wesentlich beschränkt, 19 wesentlicher Wertebereich, 19 wesentliches Supremum, 19 Windungszahl eines geschlossenen, stetigen

Weges, 51

Zentrum, 3