Universität des Saarlandes Fachbereich 9, Mathematik Prof. Dr. R. Berger �

10. Übung zu Algebra I, WS 98/99

Aufgabe 1: (3 Punkte) Sei K ein Körper und α ein algebraisches Element aus einer Erweiterung von K. Zeige K(α) = K(α^{2}), falls der Grad des Minimalpolynoms von α über K ungerade ist.

Aufgabe 2: (5 Punkte) Finde das Minimalpolynom

a) von \sqrt{7} über ℚ, b) von (\sqrt{11} + 3)/2 über ℚ, c) von (i\sqrt{3} − 1)/2 ∈ ℂ über ℚ,

d) von ^{3} \sqrt{2} über ℚ.

Aufgabe 3: (2 Punkte) Konstruiere einen Körper mit 8 Elementen.

Aufgabe 4: (2 Punkte) Sei L|K eine endliche Körpererweiterung und der Körpergrad [L : K] eine Primzahl. Zeige, daß es keine echten Zwischenkörper in L|K gibt. Zeige, daß L|K eine einfache Erweiterung ist.

Aufgabe 5: (5 Punkte) Sei 𝔸 die Menge aller komplexen Zahlen, die algebraisch über ℚ sind.

a) Zeige, daß 𝔸 ein Körper ist, der zudem algebraisch abgeschlossen ist.

b) Zeige, daß 𝔸|ℚ zwar algebraisch, aber nicht endlich ist.

Aufgabe 6: (5 Punkte) Berechne für die folgenden Körper K, L jeweils [L : K] sowie eine K-Basis von L:

a) L = ℚ(\sqrt{2}, ^{3} \sqrt{2}), K = ℚ b) L = ℚ( ^{4} \sqrt{2}, i), K = ℚ(i)

Aufgabe 7: (5 Punkte) Zeige ℚ(\sqrt{a}, \sqrt{b}) = ℚ(\sqrt{a} + \sqrt{b}) für alle a, b ∈ ℚ.

Aufgabe 8: (3 Punkte) Zeige, daß es endliche Erweiterungen von ℚ von beliebigem Grad gibt.

Abgabe am 18.1.1999 vor der Vorlesung