Universität des Saarlandes Fachbereich 9, Mathematik Prof. Dr. R. Berger �

11. Übung zu Algebra I, WS 98/99

Aufgabe 1: (2 Punkte)

a) Sei K ein Körper und K(T) der Quotientenkörper des Polynomrings K[T]. Zeige, daß die Körpererweiterung K(T)|K nicht algebraisch ist.

b) Sei K ein beliebiger Körper und α ein Element aus einer Körpererweiterung, das algebraisch ist über K. Zeige, daß K(α) = K[α] ist.

Aufgabe 2: (2 Punkte) Welche der folgenden Erweiterungen sind normal?

a) ℚ(α)|ℚ, α die reelle 5-te Wurzel aus 3

b) ℚ(\sqrt{−3})|ℚ

c) ℚ( ^{4} \sqrt{5}, i)|ℚ(i)

d) ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3})|ℚ

Aufgabe 3: (2 Punkte) Bestimme die normale Hülle der folgenden Erweiterungen über ℚ in dem algebraischen Abschluß von ℚ in ℂ:

a) ℚ( ^{4} \sqrt{2})

b) ℚ(α), α eine Nullstelle von X^{3} − 3X + 3

Aufgabe 4: (2 Punkte) Sei K ein Körper der Charakteristik 0. Zeige, daß jedes von 0 verschiedene Polynom aus K[X] separabel ist.

Aufgabe 5: (2 Punkte) Sei K ein Körper der Charakteristik 0 und f ∈ K[X] ein nichtkonstantes Polynom mit Diskriminante D(f) (Definition der Diskriminante siehe Blatt 9). Zeige, daß f nicht irreduzibel sein kann, wenn D(f) = 0 ist.

Abgabe am 25.1.1999 vor der Vorlesung