Universität des Saarlandes Fachbereich 9, Mathematik Prof. Dr. R. Berger �

12. Übung zu Algebra I, WS 98/99

Aufgabe 1: (4 Punkte) Bestimme für jede der folgenden Körpererweiterungen L|K die Gruppe Aut (L|K) der K-Automorphismen von L:

a) ℚ(\sqrt{5})|ℚ

b) ℚ(α)|ℚ, α die reelle 5-te Wurzel von 3

c) 𝔽_{3}(β)|𝔽_{3}, β Nullstelle von X^{2} − 2

Aufgabe 2: (6 Punkte) Sei K = ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{5}).

a) Zeige, daß K|ℚ eine Galois-Erweiterung ist.

b) Bestimme G = Gal(K|ℚ).

c) Bestimme alle Untergruppen von G.

d) Bestimme zu jeder Untergruppe den zugehörigen Fixkörper.

Aufgabe 3: (6 Punkte) Sei K ein Körper, f ∈ K[X] ein irreduzibles, separables Polynom vom Grad n und L der Zerfällungskörper von f. Seien a_{1}, …, a_{n} ∈ L die Nullstellen von f und G die Galoisgruppe von L|K.

a) Für jedes σ ∈ G definiere φ_{σ} : {1, …, n} → {1, …, n} durch φ_{σ}(j) = k, falls σ(a_{j}) = a_{k}. Zeige, daß G → S_{n}; σ ↦ φ_{σ} einen injektiven Gruppenhomomorphismus definiert, und daß man folglich G als Untergruppe von S_{n} auffassen kann, so daß gilt: σ(a_{j}) = a_{σ(j)}.

b) Sei Δ(f) := ∏_{1⩽i<j⩽n}(a_{i} − a_{j}) und D(f) := Δ(f)^{2} (vgl. Blatt 9). Zeige σ(Δ(f)) = sgn(σ) · Δ(f) für alle σ ∈ G.

c) Sei A_{n} die Untergruppe der geraden Permutationen in S_{n}. Zeige, daß G genau dann eine Untergruppe von A_{n} ist, wenn D(f) ein Quadrat in K ist.

Aufgabe 4: (4 Punkte) Zeige die Irreduzibilität folgender Polynome über ℚ und bestimme die Galois-Gruppen ihrer Zerfällungskörper.

a) X^{3} + X^{2} − 6

b) X^{3} + 3X + 1

c) 2X^{3} − 6X + 2

Abgabe am 1.2.1999 vor der Vorlesung