Universität des Saarlandes Fachbereich 9, Mathematik Prof. Dr. R. Berger �

13. Übung zu Algebra I, WS 98/99

Aufgabe 1: (3 Punkte) Sei K ein Körper und f ∈ K[X] ein irreduzibles separables Polynom. Sei L ein Zerfällungskörper von f und α_{1}, …, α_{n} ∈ L die Nullstellen von f. Zeige, daß die Galoisgruppe G von L|K transitiv auf den Nullstellen von f operiert, d.h. für alle i, j existiert ein σ ∈ G mit σ(α_{i}) = α_{j}.

Aufgabe 2: (6 Punkte) Seien K, L_{1}, L_{2} Unterkörper des Körpers M mit K ⊆ L_{1}, K ⊆ L_{2}. Zeige:

a) Sind L_{1}|K und L_{2}|K endliche Galoiserweiterungen mit Gruppen G_{1}, G_{2}, so ist auch L_{1}L_{2}|K galoissch mit einer Galoisgruppe G, welche sich durch G ↪ G_{1} × G_{2}; σ ↦ (σ_{|L_{1}}, σ_{|L_{2}}) in G_{1} × G_{2} einbetten läßt.

b) Ist zusätzlich L_{1} ∩ L_{2} = K so ist diese Einbettung sogar ein Isomorphismus.

Aufgabe 3: (5 Punkte) Sei L|K eine endliche Galoiserweiterung mit Gruppe G. Definiere die Norm N_{K}^{L} : L → L; x ↦ ∏_{σ∈G} σ(x) und die Spur Tr_{K}^{L} : L → L; x ↦ ∑_{σ∈G} σ(x). Zeige:

a) Die Norm ist multiplikativ, d.h. N_{K}^{L}(xy) = N_{K}^{L}(x)N_{K}^{L}(y) für alle x, y ∈ L.

b) Die Spur ist additiv, d.h. Tr_{K}^{L}(x + y) = Tr_{K}^{L}(x) + Tr_{K}^{L}(y) für alle x, y ∈ L.

c) N_{K}^{L}(L) ⊆ K, Tr_{K}^{L}(L) ⊆ K.

d) N_{K}^{L}(a) = a^{[L:K]} und Tr_{K}^{L}(a) = [L : K] · a für alle a ∈ K.

Aufgabe 4: (6 Punkte) Sei K(α)|K eine endliche Galoiserweiterung mit Gruppe G.

a) Zeige, daß das Minimalpolynom von α über K gleich ∏_{σ∈G}(X − σ(α)) ist.

b) Sei m_{α} die K-lineare Abbildung m_{α} : L → L; x ↦ αx. Zeige, daß N_{K}^{K(α)}(α) = det(m_{α}) und Tr_{K}^{K(α)}(α) = spur(m_{α}) ist.

Abgabe am 8.2.1999 vor der Vorlesung