Universität des Saarlandes Fachbereich 9, Mathematik Prof. Dr. R. Berger �

1. Übung zu Algebra I, WS 98/99

Aufgabe 1: (2 Punkte) Sei G eine Gruppe mit g^{2} = 1_{G} für alle g ∈ G (1_{G} bezeichnet das Neutralelement von G). Zeige, daß G dann abelsch ist.

Aufgabe 2: (4 Punkte) Sei G eine Gruppe. Zeige die Äquivalenz folgender Aussagen:

a) G ist abelsch.

b) Für alle a, b ∈ G gilt (ab)^{2} = a^{2}b^{2}.

c) Für alle a, b ∈ G gilt (ab)^{−1} = a^{−1}b^{−1}.

Aufgabe 3: (6 Punkte) Sei G eine Gruppe und M eine nichtleere Menge. Zeige, daß auf der Menge Abb(M, G) der Abbildungen von M nach G wie folgt eine Gruppenstruktur definiert ist: Für f, g ∈ Abb(M, G) sei f · g die Abbildung, welche m ∈ M auf f(m) · g(m) abbildet.

Aufgabe 4: (8 Punkte) Sei G eine Gruppe mit Gruppenoperation ∘ . Sei x ∈ G ein fest gewähltes Element. Zeige, daß durch a ⋆ b := a ∘ x ∘ b eine Gruppenstruktur auf der Menge G definiert wird. Wie lautet das Neutralelement bezüglich der Verknüpfung ⋆ ?

Abgabe am 26.10.1998 vor der Vorlesung