Universität des Saarlandes Fachbereich 9, Mathematik Prof. Dr. R. Berger �

2. Übung zu Algebra I, WS 98/99

Aufgabe 1: (6 Punkte) Sei G eine Gruppe mit Verknüpfung ∘ : G × G → G. Sei U eine Teilmenge von G.

a) Zeige, daß die Einschränkung von ∘ auf U × U genau dann eine Gruppenstruktur auf U definiert, wenn U nicht leer ist und x ∘ y^{−1} ∈ U gilt für alle x, y ∈ U.

b) Sei U nun eine endliche nichtleere Teilmenge von G. Zeige, daß U genau dann eine Untergruppe von G ist, wenn UU := {x ∘ y|x, y ∈ U} ⊆ U gilt. Zeige, daß dabei die Bedingung der Endlichkeit von U notwendig ist.

Aufgabe 2: (4 Punkte) Sei G eine Gruppe mit Primzahlordnung. Zeige, daß G zyklisch ist und keine Untergruppen außer {1_{G}} und G besitzt.

Aufgabe 3: (5 Punkte) Sei G eine abelsche Gruppe und N ∈ ℕ. Zeige, daß U_{1} = {x ∈ G|x^{N} = 1_{G}} und U_{2} = {x^{N}|x ∈ G} Untergruppen von G sind. Zeige, daß dabei die Voraussetzung der Kommutativität von G notwendig ist.

Aufgabe 4: (5 Punkte) Sei G eine Gruppe. Zeige, daß eine Untergruppe U von Z(G) normal ist in G. Zeige, daß eine Untergruppe U von G mit [G : U] = 2 normal ist in G.

Abgabe am 2.11.1998 vor der Vorlesung