Universität des Saarlandes Fachbereich 9, Mathematik Prof. Dr. R. Berger �

3. Übung zu Algebra I, WS 98/99

Aufgabe 1: (5 Punkte) Zeige, daß eine Gruppe mit mehr als zwei Elementen einen nichttrivialen Automorphismus besitzt. Aufgabe 2: (4 Punkte) Zeige, daß der Index des Zentrums einer Gruppe niemals eine Primzahl sein kann. Aufgabe 3: (5 Punkte) Sei p eine Primzahl. Zeige, daß jede Gruppe der Ordnung p^{2} abelsch ist. Zeige, daß eine Gruppe der Ordnung p^{3} nicht unbedingt abelsch sein muß. Aufgabe 4: (6 Punkte) Sei G eine endliche abelsche Gruppe und Ĝ = Hom(G, ℂ^{∗}) ihre Dualgruppe.

a) Zeige, daß G isomorph ist zu Ĝ.

b) Zeige, daß G kanonisch isomorph ist zu ˆ Ĝ.

c) Sei χ_{0} ∈ Ĝ. Zeige

∑_{g∈G} χ_{0}(g) = \{ \begin{matrix}#G falls χ_{0} ≡ 1 \\ 0 sonst \end{matrix} .

d) Sei g_{0} ∈ G. Zeige

∑_{χ∈Ĝ} χ(g_{0}) = \{ \begin{matrix}#G falls g_{0} = 0 \\ 0 sonst \end{matrix} .

Abgabe am 9.11.1998 vor der Vorlesung