Universität des Saarlandes Fachbereich 9, Mathematik Prof. Dr. R. Berger �

4. Übung zu Algebra I, WS 98/99

Aufgabe 1: (4 Punkte) Sei G eine Gruppe und M eine Menge. Eine Gruppenoperation von G auf M ist eine Abbildung G × M → M; g, m ↦ g · m mit den Eigenschaften:

(i) 1_{G} · m = m ∀m ∈ M,

(ii) g · (h · m) = (gh) · m ∀g, h ∈ G, m ∈ M. Die Bahn eines Elementes m ∈ M ist dann definiert als G · m := {g · m|g ∈ G}, die Fixgruppe von m ist G_{m} := {g ∈ G|g · m = m}. Ein Fixpunkt der Operation ist ein m ∈ M mit g · m = m für alle g ∈ G. Seien nun G und M endlich, G operiere auf M wie oben beschrieben. Zeige:

a) Für alle m ∈ M gilt #G/G_{m} = #G · m.

b) Ist p eine Primzahl, G eine p-Gruppe, so ist die Anzahl der Fixpunkte kongruent zu #M modulo p. Gilt p |̸#M, so existiert mindestens ein Fixpunkt. (Hinweis: Erstelle ähnlich zur Klassengleichung eine Bahngleichung.)

Aufgabe 2: (6 Punkte) Sei G eine endliche Gruppe der Ordnung n = r · p^{e}, p ∈ ℙ, p |̸r.

a) Zeige, daß G durch Konjugation auf der Menge der p-Sylowgruppen von G operiert. Wieviele verschiedene Bahnen gibt es bezüglich dieser Operation? Zeige, daß die Anzahl der p-Sylowgruppen von G ein Teiler von r ist.

b) Zeige, daß die Anzahl der p-Sylowgruppen kongruent zu 1 modulo p ist. (Hinweis: Betrachte die Operation einer p-Sylowgruppe auf der Menge aller p-Sylowgruppen.)

Aufgabe 3: (5 Punkte) Zeige, daß jede Gruppe der Ordnung 15 zyklisch ist. (Hinweis: Betrachte eine geeignete Operation der Gruppe auf einer ihrer p-Sylowgruppen.) Aufgabe 4: (5 Punkte) Sei G eine endliche abelsche Gruppe. Zeige die folgenden Aussagen:

a) U = {x|x^{2} = 1} ist eine Untergruppe von G.

b) ∏_{g∈G} g = ∏_{g∈U} g = \{ \begin{matrix}1 falls & #U ≠ 2 \\ x falls & U = \{1, x\} mit x ≠ 1 \end{matrix}

(Hinweis: Für das erste Gleichheitszeichen zerlege das Produkt mit Hilfe der Menge U, für das zweite Gleichheitszeichen zerlege das Produkt mittels einer Untergruppe von U.)

c) Für 2 ≠ p ∈ ℙ gilt (p − 1)! + 1 ≡ 0 mod p (Satz von Wilson).

Abgabe am 16.11.1998 vor der Vorlesung