Universität des Saarlandes Fachbereich 9, Mathematik Prof. Dr. R. Berger �

5. Übung zu Algebra I, WS 98/99

Aufgabe 1: (3 Punkte) Sei R ein Ring mit Eins und mit x^{2} = x für alle x ∈ R. Zeige, daß R kommutativ ist.

Aufgabe 2: (3 Punkte) Sei R = \{\binom{a b}{0 0}, a, b ∈ ℝ\}. Zeige, daß R ein Unterring von Mat(2, ℝ) ist. Zeige, daß es ein Element e ∈ R gibt mit e · x = x für alle x ∈ R. Zeige, daß R trotzdem kein Einselement besitzt.

Aufgabe 3: (2 Punkte) Zeige, daß die beiden Unterringe ℤ[\sqrt{2}] und ℤ[\sqrt{3}] von ℝ nicht isomorph sind.

Aufgabe 4: (5 Punkte) Sei R der Ring der stetigen Funktionen von ℝ nach ℝ, versehen mit punktweiser Addition und Multiplikation (d.h. (f ± g)(x) = f(x) ± g(x), (f · g)(x) = f(x) · g(x)). Zeige, daß f ∈ R genau dann eine Einheit ist, wenn f(x) ≠ 0 gilt für alle x ∈ ℝ. Zeige, daß f ∈ R genau dann ein Nullteiler ist, wenn f^{−1}(0) nichtleeres Inneres hat. Finde ein Element von R, das weder Einheit noch Nullteiler ist.

Aufgabe 5: (7 Punkte) Sei R = {f : ℕ → ℂ} die Menge der Abbildungen von ℕ nach ℂ. Zeige, daß auf R durch

(f + g)(n) := f(n) + g(n) und (f ∗ g)(n) = ∑_{{x,y∈ℕ×ℕ \atop xy=n}} f(x)g(y)

eine kommutative Ringstruktur definiert ist. Zeige, daß das Einselement gegeben ist durch δ mit δ(1) = 1, δ(n) = 0 für n ≠ 1. Sei μ definiert durch

μ(n) = \{ \begin{matrix}1 falls & n = 1 \\ (−1)^{r} falls & n = p_{1} … p_{r}, p_{i} ∈ ℙ paarweise verschieden \\ 0 falls & n einen quadratischen Faktor besitzt \end{matrix}

sowie e durch e(n) = 1 für alle n ∈ ℕ. Zeige μ ∗ e = δ. Zeige F = e ∗ f ⇔ f = μ ∗ F für alle f, F ∈ R. Zeige die Möbius-Inversionsformel: Ist f ∈ R und F (n) := ∑_{d|n} f(d), so gilt f(n) = ∑_{d|n} μ(d)F (n/d).

Abgabe am 23.11.1998 vor der Vorlesung