Universität des Saarlandes Fachbereich 9, Mathematik Prof. Dr. R. Berger �

6. Übung zu Algebra I, WS 98/99

Aufgabe 1: (3 Punkte) Sei R kommutativer Ring mit Eins. Zeige, daß in R Nullteiler nie Einheiten sein können. Seien a, b ∈ R. Zeige, daß ab kein Nullteiler in R ist, wenn a und b keine Nullteiler sind.

Aufgabe 2: (6 Punkte) Gib einen Ringhomomorphismus an, der nicht jeden Nullteiler auf einen Nullteiler abbildet. Zeige, daß ein solcher Ringhomomorphismus notwendigerweise nichtinjektiv ist. Sei f : R → S ein Ringhomomorphismus zwischen Ringen mit Eins mit f(1) = 1. Zeige, daß f Einheiten auf Einheiten abbildet.

Aufgabe 3: (4 Punkte) Sei R Ring mit Eins, x, y ∈ R. x heißt nilpotent, wenn es ein n ∈ ℕ gibt mit x^{n} = 0. Zeige: Ist x ∈ R nilpotent, so ist 1 − x eine Einheit. Das Element 1 − xy ist genau dann eine Einheit, wenn 1 − yx Einheit ist.

Aufgabe 4: (3 Punkte) Bestimme die Einheiten von ℤ[i] ⊂ ℂ.

Aufgabe 5: (4 Punkte) Sei n ∈ ℕ, n ⩾ 2. Zeige, daß jedes Element des Rings ℤ/nℤ entweder eine Einheit oder ein Nullteiler ist.

Abgabe am 30.11.1998 vor der Vorlesung