Universität des Saarlandes Fachbereich 9, Mathematik Prof. Dr. R. Berger �

7. Übung zu Algebra I, WS 98/99

Aufgabe 1: (2 Punkte) Finde den ggT von X^{12} − 1 und X^{30} − 1 in ℤ[X].

Aufgabe 2: (4 Punkte) Zeige, daß I := {f ∈ ℤ[X] f(0) = 0} ein Hauptideal in ℤ[X] ist. Ist I ein Primideal? Ist I ein maximales Ideal? Ist ℤ[X] Hauptidealring?

Aufgabe 3: (4 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring, I ⊆ R ein Ideal. Zeige: I[X] ist genau dann ein Primideal von R[X], wenn I ein Primideal von R ist.

Aufgabe 4: (3 Punkte) Sei R kommutativer Ring mit Eins. Zeige: Ist jedes von R verschiedene Hauptideal in R ein Primideal, so ist R ein Körper.

Aufgabe 5: (7 Punkte) Sei K ein Körper. Eine nichtarchimedische Bewertung von K ist eine Abbildung v : K → ℝ ∪ {∞} mit den Eigenschaften

i) v(x) = ∞ ⇔ x = 0,

ii) v(xy) = v(x) + v(y),

iii) v(x + y) ⩾ min{v(x), v(y)},

wobei für a ∈ ℝ und ∞ die Konventionen a < ∞, a + ∞ = ∞ + a = ∞ + ∞ = ∞ gelten. Sei O_{v} := {x ∈ K v(x) ⩾ 0} und 𝔪_{v} := {x ∈ K v(x) > 0}. O_{v} heißt der Bewertungsring von v.

a) Zeige, daß O_{v} ein Unterring von K ist mit maximalem Ideal 𝔪_{v} und Einheitengruppe O_{v}^{∗} = {x ∈ K v(x) = 0}.

b) Zeige, daß O_{v} ein Hauptidealring ist, falls v(K^{∗}) = ℤ ist.

c) Sei v(K^{∗}) = ℚ. Zeige, daß O_{v} dann keine irreduziblen Elemente enthält. Zeige, daß es in O_{v} eine unendliche Folge von echt aufsteigenden Idealen 𝔞_{1} ⊊ 𝔞_{2} ⊊ 𝔞_{3} ⊊ … gibt.

Abgabe am 7.12.1998 vor der Vorlesung