Universität des Saarlandes Fachbereich 9, Mathematik Prof. Dr. R. Berger �

8. Übung zu Algebra I, WS 98/99

Aufgabe 1: (3 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring mit Eins. Zeige, daß jedes Primideal, dessen Index in der additiven Gruppe (R, +) endlich ist, sogar ein maximales Ideal ist.

Aufgabe 2: (3 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring und 𝔞 ein Ideal in R, dessen Index in (R, +) eine Primzahl ist. Muß 𝔞 dann ein Primideal sein?

Aufgabe 3: (4 Punkte) Sei R kommutativer Ring mit Eins, f ∈ R[X] vom Grad d. Sei h ∈ R. Zeige, daß es Polynome φ_{i}(X) ∈ R[X] gibt mit f(X + h) = f(X) + ∑_{i=1}^{d} φ_{i}(X)h^{i}.

Aufgabe 4: (3 Punkte) Zeige, daß es kein Polynom f ∈ ℤ[X] gibt mit f(n) ∈ ℙ für alle n ∈ ℕ.

Aufgabe 5: (7 Punkte) Sei R ein kommutativer Ring mit Eins. Analog zur Konstruktion des Polynomrings R[X] in der Vorlesung konstruiert man den Ring R[[X]] der formalen Potenzreihen in X wie folgt: die Elemente von R[[X]] sind Folgen (a_{0}, a_{1}, a_{2}, …) von Elementen aus R, Addition und Multiplikation sind definiert durch (a_{0}, a_{1}, a_{2}, …) + (b_{0}, b_{1}, b_{2}, …) = (a_{0} + b_{0}, a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, …), (a_{0}, a_{1}, a_{2}, …) · (b_{0}, b_{1}, b_{2}, …) = (c_{0}, c_{1}, c_{2}, …) mit c_{k} = ∑_{n+m=k} a_{n} · b_{m}. Zur Veranschaulichung schreibt man ∑_{n=0}^{∞} a_{n}X^{n} für die Folge (a_{0}, a_{1}, a_{2}, …). Dann sind die Rechenregeln für Potenzreihen analog zum Rechnen mit Polynomen, nur daß eine Potenzreihe unendlich viele von 0 verschiedene Koeffizienten haben kann.

a) Bestimme die Einheiten von R[[X]].

b) Sei R = K ein Körper. Zeige, daß K[[X]] genau die Ideale (0), (X^{n}), n ⩾ 0 hat. Ist K[[X]] ein ZPE-Ring?

Abgabe am 14.12.1998 vor der Vorlesung