Universität des Saarlandes

Fachbereich 9, Mathematik Prof. Dr. R. Berger

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1. Übung zur Linearen Algebra II, SS 1999

Aufgabe 1:(10 Punkte) In (11.2.3) nutzte man die Selbstdualität einer Orthonomalbasis aus, um eine wichtige Eigenschaft der adjungierten Abbildung zu beweisen. Dies kann man aber auch direkt tun: Seien E und F euklidische Vektorräume mit Orthonormalbasen 𝔢 bzw. 𝔣. Sei φ : E → F ein Homomorphismus und φ̃ : F → E die adjungierte Abbildung. Rechne direkt nach, daß

M(φ̃, 𝔣, 𝔢) = M(φ, 𝔢, 𝔣)^{T}

gilt.

Aufgabe 2:(5+2+1+2=10 Punkte) Auf dem euklidischen Vektorraum ℝ^{3} mit dem Standardskalarprodukt sei die lineare Abbildung φ : ℝ^{3} → ℝ^{3} bezüglich der Basis a_{1} = (1, 0, 0), a_{2} = (0, 1, 1), a_{3} = (1, 0, 1) durch φ(a_{1}) = a_{1}, φ(a_{2}) = 2a_{1}+2a_{2}+a_{3}, φ(a_{3}) = 2a_{1} + 3a_{3} gegeben.

a) Bestimme die zu φ adjungierte Abbildung φ̃.

Hinweis: Beachte die vorherige Aufgabe und schreibe φ̃ als Matrix bezüglich der Standardbasis.

b) Ist φ normal?

c) Ist φ selbstadjungiert?

d) Bestimme (falls möglich) eine Orthonormalbasis von ℝ^{3}, welche aus Eigenvektoren von φ besteht.

Aufgabe 3:(5+5=10 Punkte)

a) In der Vorlesung (10.13.2) wurde behauptet, daß das Kreuzprodukt linear und alternierend sei. Zeige dies!

b) Auf dem euklidischen Raum ℝ^{3} mit dem Standardskalarprodukt und der Standardbasis e_{1}, e_{2}, e_{3} sei die Orientierung durch die Determinantenfunktion Δ vermittels Δ(e_{1}, e_{2}, e_{3}) = 1 festgelegt.

(i) Beweise mit Hilfe des Kreuzproduktes, daß x = (1, 2, 3) und y = (0, 1, 1) linear abhängig sind. Bestimme außerdem z ∈ ℝ^{3} dergestalt, daß [x, y, z] eine positiv orientierte Basis des ℝ^{3} ist. (ii) Bestimme das Volumen des von x = (1, 4, 2), y = (2, 1, 0) und z = (3, 2, 0) aufgespannten

Parallelepipeds.

Aufgabe 4:(10 Punkte) Sei E ein euklidischer Vektorraum der Dimension n und Δ eine normierte Determinantenfunktion auf E. Dann gilt nach Satz (10.11.3)

Δ(x_{1}, ⋯, x_{n}) · Δ(y_{1}, ⋯, y_{n}) = det (\begin{matrix}⟨x_{1}, y_{1}⟩ & ⋯ & ⟨x_{1}, y_{n}⟩ \\ ⋮ & & ⋮ \\ ⟨x_{n}, y_{1}⟩ & ⋯ & ⟨x_{n}, y_{n}⟩ \end{matrix})

Zeige dies unmittelbar unter Benutzung der Identität (8.4.3)(4)!

Informationen zur Vorlesung: Die Klausur zur Vorlesung findet am Samstag, 10. Juli 1999 von 9-13 Uhr im Hörsaal I statt. Falls nötig wird es eine Nachklausur geben. Zur Klausur wird zugelassen, wer 40% der Punkte aus den Übungen hat und regelmäßig an den Übungen teilnahm (dies bedeutet sowohl Anwesenheit als auch Mitarbeit!). Einen Übungsschein erhält, wer eine Klausur besteht. Gelegentlich wird -wenn der Stoff es zuläßt- eine Mapleaufgabe zu bearbeiten sein. Wer hierfür einen Account benötigt, trage sich nächste Woche in die Liste vor Raum 309 ein. Eine Fragestunde wird es nicht mehr geben, doch besteht jeden Mittwoch um 16 Uhr die Möglichkeit, bei Holger Cröni (Raum 309) vorbeizukommen und Fragen zu stellen. Bei großem Andrang steht der Seminarraum 5 zur Verfügung.