Universität des Saarlandes

Fachbereich 9, Mathematik Prof. Dr. R. Berger

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2. Übung zur Linearen Algebra II, SS 1999

Aufgabe 5:(1+7+3+3=14 Punkte) Betrachte den euklidischen Raum E := ℝ_{3} mit dem Standardskalarprodukt. Der Endomorphismus φ von E sei bezüglich der Standardbasis 𝔢 durch die Matrix

A := M(φ, 𝔢, 𝔢) = (\begin{matrix}1 & −2 & −1 \\ −2 & 1 & −1 \\ −1 & −1 & \frac{5}{2} \end{matrix}) ∈ M_{3,3}(ℝ)

gegeben.

a) Ist φ selbstadjungiert, schiefsymmetrisch, normal?

b) Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren von φ. ( Hinweis: Ein Eigenwert ist 3. )

c) Bestimme eine Orthonormalbasis von E, die aus Eigenvektoren von φ besteht.

d) Bestimme eine orthogonale Matrix S und eine Diagonalmatrix D mit S^{T} AS = D.

Aufgabe 6:(4+2=6 Punkte) Sei E ein orientierter euklidischer Vektorraum der Dimension 2 und Δ eine normierte Determinantenfunktion auf E, welche die Orientierung von E definiert. Es bezeichne θ(x, y) den orientierten Winkel von x, y ∈ E. (vgl. 10.14.2)

a) Zeige

θ(x, −y) = \begin{cases}θ(x, y) − π, & falls θ(x, y) > 0 \\ θ(x, y) + π, & falls θ(x, y) ≤ 0 \end{cases}

b) Im mit dem Standardskalarprodukt versehenen euklidisch orientierten Vektorraum ℝ^{2} gelte Δ((0, 1), (1, 0)) = 1. Berechne den Winkel zwischen (1, 1) und (0, 1), sowie den orientierten Winkel zwischen (1, 1) und (0, 1).

Aufgabe 7:(10 Punkte) Sei E ein K-Vektorraum und φ ein Endomorphismus von E. Seien x_{1}, ⋯, x_{r} Eigenvektoren von φ zum jeweiligen Eigenwert λ_{1}, ⋯, λ_{r}. Zeige: Dann sind die Eigenvektoren x_{1}, ⋯, x_{r} linear unabhängig! (vgl. 11.3.9)

Aufgabe 8:(1+9=10 Punkte) Der schiefsymmetrische Endomorphismus ψ des ℝ_{3} sei bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

A := (\begin{matrix}0 & −1 & 2 \\ 1 & 0 & −1 \\ −2 & 1 & 0 \end{matrix})

gegeben.

a) Berechne Spur, Determinante und Rang von ψ.

b) Bringe A auf Normalform für schiefsymmetrische Matrizen und bestimme eine Basis 𝔟 := {b_{1}, b_{2}, b_{3}} von ℝ_{3}, so daß M(ψ, 𝔟, 𝔟) diese Normalform hat.

Hinweis: Benutze das Verfahren des Beweises von 11.6.9.

Abgabe der Übungen ist am Freitag, 30.4.1999 vor der Vorlesung!