Universität des Saarlandes

Fachbereich 9, Mathematik Prof. Dr. R. Berger

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3. Übung zur Linearen Algebra II, SS 1999

Aufgabe 9:(5+5=10 Punkte)

a) Sei A ∈ M_{n,n}(ℝ) und bezeichne ⟨·, ·⟩ das Standardskalarprodukt auf ℝ_{n}. Zeige, daß dann die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(i) A^{T} A = I

(ii) A^{−1} = A^{T}

(iii) AA^{T} = I

(iv) Die Spaltenvektoren von A bilden eine Orthonormalbasis von ℝ_{n}.

(v) Ist b_{1}, ⋯, b_{n} eine Orthonormalbasis von ℝ_{n}, dann ist es auch Ab_{1}, ⋯, Ab_{n}.

(vi) ⟨Ax, Ay⟩ = ⟨x, y⟩ für alle x, y ∈ ℝ_{n}.

(vii) |Ax| = |x| für alle x ∈ ℝ_{n}.

b) Für 0 ≠ a ∈ ℝ_{n} definiert man eine Matrix S_{a} ∈ M_{n,n}(ℝ) durch

S_{a} := I − \frac{2}{⟨a, a⟩}aa^{T} .

(i) Zeige, daß S_{a}x = x − 2\frac{⟨a,x⟩}{⟨a,a⟩}a gilt.

(ii) Zeige, daß S_{a} ∈ O(n) gilt. (S_{a} nennt man eine Spiegelung.)

(iii) Zeige, daß die zu a orthogonale Hyperebene H_{a} := {x ∈ ℝ_{n} : ⟨a, x⟩ = 0} die Spiegelachse von S_{a} ist, d.h. daß sich jedes x ∈ ℝ_{n} als x = λa + h mit h ∈ H_{a} und λ ∈ ℝ schreiben läßt, so daß S_{a}x = −x gilt.

Zur nächsten Aufgabe: Wie man weiß, läßt sich jeder Drehung in der Ebene als Hintereinanderausführung von zwei Spiegelungen beschreiben. Die Verallgemeinerung dieses Satzes wurde aber erst 1938 von Elie Cartan (1869-1951) bewiesen.

Aufgabe 10:(4+6=10 Punkte) Seien Voraussetzungen und Bezeichnungen wie in der vorherigen Aufgabe. Beweise die folgenden beiden Aussagen:

a) Seien u, v ∈ ℝ_{n} verschieden, wobei |u| = |v| gilt. Dann gibt es ein 0 ≠ a ∈ ℝ_{n} mit S_{a}u = v und S_{a}v = u. Hinweis: Wähle a = u − v und überlege Dir, wie |u − v|^{2} und ⟨u − v, u⟩ zusammenhängen.

b) Jede Matrix I ≠ A ∈ O(n) ist ein Produkt von höchstens n Spiegelungen! Hinweis: Wende Aufgabe 9 a) (iv), Aufgabe 10 a) und Aufgabe 9 a) (v) an. (Wäre der Hinweis weniger kryptisch, stünde der Beweis bereits hier ;-)

Aufgabe 11:(5+5=10 Punkte) Es seien die reellen Vektorräume E := M_{2,2}(ℝ) und G := ℝ^{4}, sowie die Abbildungen Φ_{1}, Φ_{2} : E × G → ℝ durch

Φ_{1} (( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ), (b_{1}, ⋯, b_{4})) = a_{11}b_{1} + a_{12}b_{2} + a_{22}b_{4},
Φ_{2} (( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ), (b_{1}, ⋯, b_{4})) = a_{11}b_{1} + 2a_{12}b_{2} + 2a_{21}b_{3} − a_{22}b_{4}

gegeben.

a) Sind (E, G, Φ_{1}) und (E, G, Φ_{2}) duale Paare?

b) Sei E_{1} ⊂ E der von A := ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) erzeugte Untervektorraum. Bestimme das orthogonale Komplement E_{1}^{⊥} := {b ∈ G| ∀ A ∈ E_{1} : Φ_{2}(A, b) = 0} von E_{1} bezüglich des dualen Paares (E, G, Φ_{2}). Was ist (E_{1}^{⊥})^{⊥}?

Zur nächsten Aufgabe: Die folgende Aufgabe muß mit Maple gelöst werden! Es kann nicht schaden, das Ergebnis per Hand nachzurechnen, doch darf nur eine ausführlich kommentierte (!) Lösung, welche mit Maple erstellt wurde, abgegeben werden. Deine Lösung muß bis Freitag 11 Uhr bei Frederic (fboldt@math.uni-sb.de) oder Thor-

sten (thbr@math.uni-sb.de) eingetroffen sein.

Aufgabe 12:(10 Punkte)

Sei der euklidische Vektorraum ℝ_{3} mit dem Standardskalarprodukt und der Standardbasis (e_{1}, e_{2}, e_{3}) versehen. Durch die normierte Determinantenfunktion Δ mit Δ(e_{1}, e_{2}, e_{3}) = 1 sei eine Orientierung vorgegeben. Der Endomorphismus φ sei bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

A := (\begin{matrix}\frac{1}{4} \sqrt{3} + \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \sqrt{3} − \frac{1}{2} & −\frac{1}{4} \sqrt{2} \\ \frac{1}{4} \sqrt{3} − \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \sqrt{3} + \frac{1}{2} & −\frac{1}{4} \sqrt{2} \\ \sqrt[\frac{1}{4}]{2} & \sqrt[\frac{1}{4}]{2} & \sqrt[\frac{1}{2}]{3} \end{matrix})

gegeben.

a) Beweise, daß φ eine eigentliche Drehung ist.

b) Bestimme die Drehachse, den Drehvektor und den orientierten Drehwinkel von φ.

c) Finde eine Orthonormalbasis des ℝ_{3}, so daß A bezüglich dieser Basis in Normalform vorliegt (vgl. 11.8.4). Was ist diese Normalform?

Zur Infomation: Wer noch einen Rechnerzugang benötigt, kann diesen heute in der Vorlesungspause im Hörsaal I bei Holger Cröni beantragen.

Abgabe der Übungen ist am Freitag, 7.Mai 1999 vor der Vorlesung!