Universität des Saarlandes

Fachbereich 9, Mathematik Prof. Dr. R. Berger

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4. Übung zur Linearen Algebra II, SS 1999

Aufgabe 13:(6+7=13 Punkte) Sei (E, G, Φ) ein duales Paar und für alle i ∈ I sei E_{i} eine Teilmenge von E.

a) Beweise die folgenden acht Aussagen:

(i) E_{i}^{⊥} ist ein Unterraum von G.

(ii) ⟨E_{i}⟩^{⊥} = E_{i}^{⊥} (iii) E^{⊥} = (0) und G^{⊥} = (0) (iv) E_{i} ⊂ E_{k} ⇒ E_{i}^{⊥} ⊃ E_{k}

(v) (E_{i}^{⊥})^{⊥} ⊃ E_{i} (vi) (∪_{i∈I}E_{i})^{⊥} = ∩_{i∈I}E_{i}^{⊥} (vii) (∩_{i∈I}E_{i})^{⊥} ⊃ ⟨∪_{i∈I}E_{i}^{⊥}⟩ (viii) Gelte (U^{⊥})^{⊥} = U für alle Unterräume von E und G. Seien alle E_{i} Unterräume. Dann

gilt (∩_{i∈I}E_{i})^{⊥} = ⟨∪_{i∈I}E_{i}^{⊥}⟩

b) Aussage (viii) ist eine Modifikation von Aussage (vii). Durch das Hinzufügen zweier weiterer Voraussetzungen

• alle E_{i} sind Unterräume

• für alle Unterräume U von E und G gilt (U^{⊥})^{⊥} = U

erreicht man Gleichheit. Zeige anhand zweier Beispiele, daß Gleichheit nicht mehr gelten muß, wenn man auch nur eine der beiden Bedingungen wegläßt.

Warum gilt in (v) nicht Gleichheit? (Gegenbeispiel!)

Aufgabe 14:(5+5=10 Punkte)

a) Beweise die vier Aussagen von (12.4.4).

b) Zeige, daß für Unterräume G von E^{∗} die Aussage von Korrollar (12.6.3) nicht stimmen muß! Finde also ein G ⊂ E^{∗} mit G ≠ (G^{⊥})^{⊥}.

Aufgabe 15:(10 Punkte)

Sei

0 → E ⟶^{φ} F ⟶^{ψ} G → 0

eine kurze exakte Folge von K-Vektorräumen. Eine solche spaltet auf, wenn ein der folgenden zwei Bedingungen gilt:

a) Es gibt eine Abbildung α : F → E mit α ∘ φ = id_{E}.

b) Es gibt eine Abbildung β : G → F mit ψ ∘ β = id_{G}.

Zeige, daß diese beiden Bedingungen äquivalent sind. (Die Bezeichnung rührt daher, daß bei einer aufspaltenden Folge Im φ = ker ψ ein direkter Summand von F ist, d.h. F ≃ E ⊕ G.)

Aufgabe 16:(7 Punkte)

Sei

0 → E_{1} → E_{2} → ⋯ → E_{n} → 0

eine exakte Folge von endlichdimensionalen K-Vektorräumen. Zeige

∑_{i=1}^{n}(−1)^{i} dim E_{i} = 0.

Abgabe der Übungen ist am Freitag, 14.Mai 1999 vor der Vorlesung!