Universität des Saarlandes

Fachbereich 9, Mathematik Prof. Dr. R. Berger

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5. Übung zur Linearen Algebra II, SS 1999

Aufgabe 17:(3+6=9 Punkte)

a) Seien K ein Körper, I := {1, 2} und F ein K-Vektorraum. Es gelte F = E_{1} ⊕ E_{2} für zwei Untervektorräume von F. Ferner seien für i ∈ I die linearen Abbildungen π_{i} : F → E_{i} durch x = π_{1}(x) + π_{2}(x) und φ_{i} : E_{i} → F als Inklusionsabbildung gegeben. Zeige, daß die Folge

0 → E_{i} ⟶^{φ_{i}} F ⟶^{π_{j}} E_{j} → 0

für {i, j} ∈ I mit i ≠ j exakt ist.

b) Seien E, F, G und H K-Vektorräume und

0 → E ⟶^{φ} F ⟶^{ψ} G → 0

eine kurze exakte Folge. Sei ferner L(E, H) der K-Vektorraum der K-linearen Abbildungen von E nach H (analog für L(F, H) und L(G, H)). Die Abbildung ψ′ sei durch ψ′ : L(G, H) → L(F, H) : σ↦σ ∘ ψ definiert (analog φ′). Zeige, daß die Folge

0 → L(G, H) ⟶^{ψ′} L(F, H) ⟶^{φ′} L(E, H) → 0

exakt ist.

Aufgabe 18:(4+4=8 Punkte) Seien E und F K-Vektorräume mit Basen (e_{1}, ⋯, e_{n}) und (f_{1}, ⋯, f_{m}).

a) Sei I := {1, ⋯, n} × {1, ⋯, m}. Definiere für (i, k) ∈ I die Abbildungen Φ_{i,k} : E × F → K durch

Φ_{i,k} (∑_{l=1}^{n} ξ_{l}e_{l}, ∑_{t=1}^{n} η_{t}f_{t}) := ξ_{i}η_{k}

Zeige, daß (Φ_{i,k}|(i, k) ∈ I) eine Basis des K-Vektorraums B(E, F) bildet.

b) Beweise, daß die Abbildung

θ : B(E, F) → M_{n,m}(K) : Φ↦M(Φ, (e_{1}, ⋯, e_{n}), (f_{1}, ⋯, f_{m}))

ein Vektorraumisomorphismus ist.

Aufgabe 19:(7 Punkte)

Seien (E, G, ⟨·, ·⟩) ein duales Paar, dim E < ∞ und y_{1}, ⋯, y_{n} ∈ G beliebig. Definiere für Vektoren x_{1}, ⋯, x_{n} ∈ E durch

g(x_{1}, ⋯, x_{n}) := det (\begin{matrix}⟨x_{1}, y_{1}⟩ & ⋯ & ⟨x_{1}, y_{n}⟩ \\ ⋮ & & ⋮ \\ ⟨x_{n}, y_{1}⟩ & ⋯ & ⟨x_{n}, y_{n}⟩ \end{matrix})

eine Abbildung g : E^{n} → K. Zeige, daß g eine Determinantenfunktion auf E ist.

Aufgabe 20:(5+3+2=10 Punkte) Der Endomorphismus φ des ℝ-Vektorraums ℝ^{3} sei bezüglich der Basis a_{1} = (1, 1, 0), a_{2} = (1, 0, 1) und a_{3} = (0, 1, 1) durch

M(φ, (a_{1}, a_{2}, a_{3}), (a_{1}, a_{2}, a_{3})) := (\begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix})

gegeben. Sei (ℝ^{3})^{∗} der Dualraum von ℝ^{3} und (a_{1}^{∗}, a_{2}^{∗}, a_{3}^{∗}) die zu (a_{1}, a_{2}, a_{3}) duale Basis von (ℝ^{3})^{∗}. Wir definieren:

Φ_{φ} : ℝ^{3} × (ℝ^{3})^{∗} → R : (x, f)↦f(φ(x))

a) Zeige, daß (ℝ^{3}, (ℝ^{3})^{∗}, Φ_{φ}) ein duales Paar ist.

b) Bestimme M(Φ_{φ}, (a_{1}, a_{2}, a_{3}), (a_{1}^{∗}, a_{2}^{∗}, a_{3}^{∗})).

c) Auf ℝ^{3} sei die Determinantenfunktion Δ durch Δ(a_{1}, a_{2}, a_{3}) = 3 gegeben. Bestimme bezüglich des obigen dualen Paares die zu Δ duale Determinantenfunktion.

Aufgabe 21:(6 Punkte)

Bestimme mittels des Satzes (12.9.2), ob die linearen Gleichungssysteme Ax = b_{1} und Ax = b_{2} mit

A = (\begin{matrix}2 & 1 & 2 \\ 7 & 5 & 11 \\ 5 & 4 & 9 \end{matrix}) , b_{1} = (\begin{matrix}2 \\ 1 \\ −1 \end{matrix}) , b_{2} = (\begin{matrix}5 \\ 3 \\ −3 \end{matrix})

lösbar sind.

Hinweis: Diese Woche sind ausnahmsweise fünf Aufgaben zu bearbeiten, von denen die meisten jedoch recht leicht sind.

Abgabe der Übung ist am Freitag, 21.Mai 1999 vor der Vorlesung!