Universität des Saarlandes

Fachbereich 9, Mathematik Prof. Dr. R. Berger

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6. Übung zur Linearen Algebra II, SS 1999

Aufgabe 22:(4+4+2=10 Punkte)

a) Auf dem ℝ-Vektorraum ℝ_{3} sei die Bilinearform Φ durch

Φ : ℝ_{3} × ℝ_{3} → ℝ : (x, y)↦x^{T} · (\begin{matrix}1 & −2 & 0 \\ −2 & 5 & −3 \\ 0 & −3 & 10 \end{matrix}) · y

gegeben.

(i) Ist Φ ausgeartet, indefinit, positiv definit?

(ii) Bestimme (M(Φ, (a_{1}, a_{2}, a_{3}), (a_{1}, a_{2}, a_{3})) bezüglich der Basis a_{1} = (2, 0, 1)^{T} , a_{2} = (−1, 1, 0)^{T} , a_{3} = (0, 0, 1)^{T}.

b) Bestimme einen Bilinearraum (E, Φ), wo F ∩ F^{⊥} ≠ 0 für einen Untervektorraum F von E gilt.

c) Gibt es zu Φ eine quadratische Form? Wenn ja, gib sie an.

Aufgabe 23:(4+4=8 Punkte) Sei E ein reeller Vektorraum und ψ : E → ℝ eine stetige Funktion, welche die Parallelogrammgleichung erfüllt. Beweise, daß es eine symmetrische Bilinearforn Φ : E × E → ℝ gibt, so daß ψ die zu Φ gehörige quadratische Form ist.

Aufgabe 24:(14 Punkte)

a) Seien (E, Φ) ein Bilinearraum und (x_{1}, ⋯, x_{n}) und (y_{1}, ⋯, y_{n}) Basen von E. Sei B := M(id, (y_{1}, ⋯, y_{n}), (x_{1}, ⋯, x_{n})) die Übergangsmatrix von (x_{1}, ⋯, x_{n}) zu (y_{1}, ⋯, y_{n}). Zeige:

M(Φ, (y_{1}, ⋯, y_{n}), (y_{1}, ⋯, y_{n})) = B^{T} · M(Φ, (x_{1}, ⋯, x_{n}), (x_{1}, ⋯, x_{n})) · B

b) Seien A, B ∈ M_{n,n}(K). Dann heißt A kongruent zu B (i.Z. A ≃ B), wenn es eine invertierbare Matrix S ∈ M_{n,n}(K) mit B = S^{T} AS gibt. Zeige:

(i) ≃ ist eine Äquivalenzrelation auf M_{n,n}(K).

(ii) A ist genau dann kongruent zu einer Diagonalmatrix, wenn A symmetrisch ist.

Aufgabe 25:(4+4=8 Punkte)

a) Auf dem komplexen Vektorraum ℂ^{n} sei die Abbildung

Φ : ℂ^{n} × ℂ^{n} → ℂ : ((x_{1}, ⋯, x_{n}), (y_{1}, ⋯, y_{n})) ↦ ∑_{i=1}^{n} x_{i}\overline{y_{i}}

gegeben, wobei \overline{y_{i}} die zu y_{i} konjugiert-komplexe Zahl ist. Seien x, y, z ∈ ℂ^{n} und λ ∈ ℂ. Dann gilt

(i) Φ(x + y, z) = Φ(x, z) + Φ(y, z) (ii) Φ(x, y) = \overline{Φ(y, x)} (iii) Φ(λ · x, y) = λ · Φ(x, y) (iv) Φ(x, x) ∈ ℝ

(v) x ≠ 0 ⇒ Φ(x, x) > 0

Eine Abbildung Φ : V ×V → ℂ auf einem komplexen Vektorraum V, welche über die ersten drei Eigenschaften verfügt heißt Hermitesche Form und erfüllt auch immer (iv). Gilt zusätzlich (v), so heißt Φ positiv definite Hermitesche Form und (V, Φ) unitärer Vektorraum.

b) Zeige, daß für eine positiv definite Hermitesche Form Φ die Schwarzsche Ungleichung

Φ(x, y) · \overline{Φ(x, y)} = |Φ(x, y)|^{2} ≤ Φ(x, x) · Φ(y, y) ∀ x, y ∈ V

gilt.

Abgabe der Übung ist am Freitag, 28.Mai 1999 vor der Vorlesung!