Universität des Saarlandes

Fachbereich 9, Mathematik Prof. Dr. R. Berger

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8. Übung zur Linearen Algebra II, SS 1999

Aufgabe 30:(4+2+2+2=10 Punkte) Sei E = ℝ^{3}. Bezeichne 𝔢 die Standardbasis von E und 𝔞 eine andere Basis von E bestehend aus den Vektoren a_{1} := (1, 0, 0), a_{2} := (1, 1, 0) und a_{3} := (0, 1, 1). Die Bilinearform Φ auf E und der Endomorphismus φ von E seien jeweils durch

M(Φ; 𝔢, 𝔢) = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix}) und M(φ; 𝔞, 𝔞) = (\begin{matrix}1 & 2 & 0 \\ 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix})

gegeben. Hierdurch wird (E, Φ) zu einem pseudoeuklidischen Raum.

a) Bestimme die zu φ adjungierte Abbildung.

b) Ist φ eine eigentliche pseudoeuklidische Drehung?

c) Bestimme die Eigenvektoren von φ.

d) Gibt es Eigenvektoren, die Lichtvektoren sind?

Aufgabe 31:(3+3+4+2=12 Punkte)

a) Seien (E, Φ) ein pseudoeuklidischer Raum der Dimension n vom Index n − 1 und φ eine pseudoeuklidische Drehung von E. Zeige, daß für einen Lichtvektor 0 ≠ l ∈ E gilt:

Φ(l, φ(l)) = 0 ⟺ l ist Eigenvektor von φ

b) Sei (E, Φ) ein pseudoeuklidischer Raum und φ : E → E eine selbstadjungierte Abbildung.

(i) Finde (E, Φ) und φ so, daß die beiden Bedingungen

• Φ(l, φ(l)) ≠ 0 für alle Lichtvektoren l ∈ E

• E besitzt keine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von φ

gelten.

Hinweis: Ein geeigneter pseudoeuklidischer Raum kam bereits in der Vorlesung vor.

(ii) Sei (E, Φ) nun ein beliebiger pseudoeuklidischer Raum der Dimension n ≥ 2. Finde φ so, daß E keine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von φ besitzt.

(iii) Man weiß, daß E eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von φ besitzt, wenn

• dim E ≥ 3

• Φ(l, φ(l)) ≠ 0 für alle Lichtvektoren l ∈ E

gilt. Gilt auch die Umkehrung?

Aufgabe 32:(1+3+5+2=11 Punkte)

a) Sei (G, +) eine abelsche Gruppe. Zeige, daß G durch die äußere Verknüpfung

· : ℤ × G : (m, a)↦ \begin{cases}\overbrace{a + … + a}^{m mal}, & m ≥ 0 \\ \underbrace{−a − … − a}_{−m mal}, & m < 0 \end{cases}

zu einem ℤ-Modul wird.

b) Zeige, daß (ℚ, +) kein freier ℤ-Modul ist.

c) Seien R = (ℤ/15ℤ, +, ·), U_{1} = {¯0, ¯5, ¯10} und U_{2} = {¯0, ¯3, ¯6, ¯9, ¯12}.

Beweise, daß U_{1} und U_{2} R-Untermoduln von R sind und bestimme Repräsentantensysteme der Faktormoduln R/U_{1} und R/U_{2} . Ist R als R beziehungsweise als ℤ-Modul frei? Falls ja, gib alle Basen an!

d) Betrachte den ℤ-Modul ℤ^{3}. Zeige, daß U = {z ∈ ℤ^{3}|10z_{1} − 5z_{2} − 4z_{3} = 0, 6 teilt z_{2}} ein ℤ-Untermodul ist.

Aufgabe 33:(3+2+2=7 Punkte) Sei E ein R-Modul und (E_{i})_{i∈I} eine Familie von Untermoduln mit E = ∑_{i∈I} E_{i}.

a) Zeige, daß die folgenden beiden Aussagen äquivalent sind:

(i) Jedes x ∈ E läßt sich eindeutig in der Form x = ∑_{i∈I} x_{i} mit x_{i} ∈ E_{i} und fast alle

x_{i} sind Null darstellen. (ii) Für alle i ∈ I gilt E_{i} ∩ ∑_{k≠i} E_{k} = (0).

b) Sei E = ⊕_{i∈I}E_{i}. Zeige, daß die kanonischen Injektionen ι_{k} : E_{k} → E und Projektionen π_{k} : E → E_{k} R-Modulhomomorphismen sind.

c) Seien E und F zwei R-Moduln und L(E, F) = Hom(E, F) die Menge der R-linearen Abbildungen von E nach F. Zeige, daß L(E, F) mit den Verknüpfungen

• (f + g)(x) = f(x) + g(x)

• (λf)(x) = λ · f(x)

einen R-Modul bildet.

Zur nächsten Aufgabe: Die folgende Aufgabe ist freiwillig und muß auch keineswegs mit Mitteln der Vorlesung gelöst werden! Diese Aufgabe hat zwar nichts mit hyberbolischer, dafür um so mehr mit euklidischer Geometrie zu tun.

Aufgabe 34^{∗}:(0 Punkte)

Ist es möglich eine beliebig große Menge von Punkten zu finden, die alle auf einem Kreis liegen und ganzzahlige Koordinaten besitzen, wobei alle Abstände zwischen ihnen ganze Zahlen betragen?

Abgabe der Übung ist am Freitag, 11. Juni 1999 vor der Vorlesung!