Universität des Saarlandes

Fachbereich 9, Mathematik Prof. Dr. R. Berger

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9. Übung zur Linearen Algebra II, SS 1999

Aufgabe 35:(2+2+3=7 Punkte) Sei R ein Ring, M ein R-Modul und S ⊂ M eine Teilmenge von M. Analog zu Vektorräumen definiert man nun lineare (Un)Abhängigkeit. Gib im Folgenden jeweils ein Beispiel für R, M und S, welches die angegebenen Bedingungen erfüllt.

a) S ist linear abhängig, aber kein Element von S liegt im Erzeugnis der übrigen Elemente.

b) M ist frei, S ist linear abhängig und M = ⟨S⟩, aber es gibt keine Teilmenge von S, die Basis von M ist.

c) M ist frei, S ist linear unabhängig, aber S läßt sich nicht zu einer Basis von M ergänzen.

Aufgabe 36:(2+4+4=10 Punkte) Zeige

a) (ℤ, ℤ^{3}, +, ·) ist ein freier ℤ-Modul.

b) Für den zu ℤ^{3} dualen Modul gilt: (ℤ^{3})^{∗} ≅ ℤ^{3}.

c) Bestimme den zum ℤ-Modul ℚ dualen Modul ℚ^{∗} = Hom_{ℤ}(ℚ, ℤ).

Aufgabe 37:(6+4=10 Punkte) Sei E ein R-Modul und U, V Untermoduln von E. Ferner seien π : E → E/U und ρ : E → E/V die kanonischen Restklassenhomomorphismen und

σ : E → E/U ⊕ E/V : x↦(π(x), ρ(x))

die Abbildung in die äußere direkte Summe.

a) Zeige

(i) σ ist ein R-Modulhomomorphismus.

(ii) ker σ = U ∩ V.

(iii) Gilt E = U + V, dann ist σ surjektiv.

b) Folgere aus a):

(i) Ist E = U + V, so gilt E/(U ∩ V) ≅ E/U ⊕ E/V .

(ii) Sind n und m teilerfremde natürlich Zahlen, so gilt ℤ/(n · m) ≅ \begin{matrix}ℤ \\ / & nℤ \end{matrix} ⊕ \begin{matrix}ℤ \\ / & mℤ \end{matrix}.

Aufgabe 38:(6+4+3=13 Punkte)

a) Seien K ein Körper, R := K[X] der Polynomring in einer Veränderlichen über K und f, g ∈ K[X] Polynome mit g ≠ 0.

Zeige, daß es dann eindeutige Elemente q, r ∈ R mit f = q · g + r und deg r < deg g gibt.

b) Sei I das von den Polynomen f(X) = X^{4} − 5X^{3} + 6X^{2} − 5X + 1 und g(X) = −X^{4} + 4X^{3} + 2X^{2} − 12X + 3 erzeugte Ideal in ℚ[X]. Bestimme ein Polynom h(X) mit I = (h(X)).

Hinweis: Dies macht man natürlich mit dem Euklidischen Algorithmus.

c) Ist (X, n) für n ∈ ℕ ∖ {0, 1} ein Hauptideal im Ring ℤ[X]?

Abgabe der Übung ist am Freitag, 18.Juni 1999 vor der Vorlesung!