Universität des Saarlandes

Fachbereich 9, Mathematik Prof. Dr. R. Berger

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11. Übung zur Linearen Algebra II, SS 1999

Aufgabe 43:(4+2+4=10 Punkte)

a) Zeige mit den Mitteln der Vorlesung folgende Aussage: Sei G eine endliche abelsche Gruppe. Dann gibt es positive Primzahlen p_{1}, ⋯, p_{r} und Exponenten n_{i} ∈ ℕ_{0}, so daß

G ≅ ℤ/p_{1}^{n_{1}}ℤ × ⋯ × ℤ/p_{r}^{n_{r}}ℤ

gilt.

Anmerkung: Man kann zeigen, daß die Zahlen r, p_{i} und n_{i} (bis auf die Reihenfolge) schon durch G eindeutig bestimmt sind. Diese Aussage (Existenz und Eindeutigkeit einer solchen Darstellung) heißt Hauptsatz für endliche abelsche Gruppen.

b) Wieviele verschiedene (d.h. nichtisomorphe) abelsche Gruppen der Ordnung 100 gibt es? Wieviel der Ordnung 60? Bestimme jeweils eine Zerlegung gemäß Teil a).

c) Zu welcher der Gruppen von diesem Typ ist die Torsion des ℤ-Moduls ℤ_{3}/ Im φ aus Aufgabe 42 isomorph?

Aufgabe 44:(10 Punkte)

Bestimme die Determinantenteiler und Elementarteiler von

A := (\begin{matrix}4 & 2 & 6 \\ 4 & 6 & 12 \\ 6 & 12 & 12 \end{matrix})

sowie invertierbare Matrizen L und R aus M_{3,3}(ℤ), so daß LAR Elementarteilerform hat.

Aufgabe 45:(6+4=10 Punkte)

a) Bestimme die Elementarteiler der Matrix (A − I · X) und die erste Normalform der Matrix

A := (\begin{matrix}1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & −2 \end{matrix}) ∈ M_{4,4}(ℚ).

b) Bestimme die zweite Normalform der Begleitmatrix A_{f} zum Polynom

f(X) = (X + 1)^{3}(X − 2)(X^{2} − 3) ∈ K[X]

für die Körper K = ℚ und K = 𝔽_{11}.

Aufgabe 46:(2+8=10 Punkte) Die lineare Abbildung φ : ℝ_{4} → ℝ_{4} sei bezüglich der Standardbasis (e_{1}, ⋯, e_{4}) von ℝ_{4} durch die Matrix

M := M(φ; (e_{1}, ⋯, e_{4}), (e_{1}, ⋯, e_{4})) = (\begin{matrix}2 & −2 & 6 & 0 \\ 3 & 2 & 0 & −6 \\ 1 & 0 & 2 & −2 \\ 0 & −1 & 3 & 2 \end{matrix}) ∈ M_{4,4}(ℝ)

gegeben.

a) Zeige, daß das charakteristische Polynom χ_{φ} ∈ ℝ[X] in ℝ[X] in Linearfaktoren zerfällt.

b) Bestimme die Jordansche Normalform J von M und eine Basis (v_{1}, ⋯, v_{4}) von ℝ_{4} bezüglich der J = M(φ; (v_{1}, ⋯, v_{4}), (v_{1}, ⋯, v_{4})) gilt.

Dieses Übungsblatt ist das letzte, welches in die Punktewertung zur Klausurzulassung eingeht, d.h. alle mit mindestens 176 Punkten sind zur Klausur am 10. Juli um 9 Uhr c.t. im Hörsaal I zugelassen. Eine endgültige Liste der Zugelassenen wird in der Klausurwoche aushängen. Wie immer muß der Studierenden- und der Personalausweis zur Klausur mitgebracht werden.

Falls eine Nachklausur stattfinden muß, wird diese am Freitag, 15.10.1999 um 9 Uhr c.t. im Hörsaal IV sein.

Die Klausur wird in den Übungen der letzten Vorlesungswoche besprochen, die Klausureinsicht wird am Mittwoch 14.7. um 16 Uhr im Seminarraum 5 sein.

Abgabe der Übung ist am Freitag, 2. Juli 1999 vor der Vorlesung!