Universität des Saarlandes

Fachbereich 9, Mathematik Prof. Dr. R. Berger

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Verfahren zur Berechnung der Jordanschen Normalform

Sei φ ein Endomorphismus des K-Vektorraums E = K_{n} für einen Körper K. Das charakteristische Polynom χ_{φ} ∈ K[X] von φ zerfalle vollständig in Linearfaktoren. Mit dem folgenden beschriebenen und begründeten Verfahren kann man eine Basis von E bestimmen, bzgl. der die Matrix von φ Jordan-Normalform hat.

Sei χ_{φ} = (X − λ_{1})^{e_{1}} ⋯ (X − λ_{m})^{e_{m}} mit λ_{i} ≠ λ_{j} für i ≠ j und e_{i} ∈ ℕ sowie A die Matrix von φ bzgl. der Standardbasis von E. Für j = 0, …, e_{i} sei V_{j}^{(i)} :=Kern der Abbildung (φ − λ_{i} · id)^{j}, also die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems (A − λ_{i} · I)^{j} · x = 0.

(1) Es gilt offensichtlich {0} = V_{0}^{(i)} ⫋ V_{1}^{(i)} ⊆ V_{2}^{(i)} ⊆ . . .. Ferner sind die V_{j}^{(i)} invariant bei φ, d.h. für x ∈ V_{j}^{(i)} gilt φ(x) ∈ V_{j}^{(i)}; denn aus (φ − λ_{i} · id)^{j}(x) = 0 folgt (φ−λ_{i} ·id)^{j}(φ(x)) = ((φ−λ_{i} ·id)^{j} ∘φ)(x) = (φ∘(φ−λ_{i} ·id)^{j})(x) = φ((φ−λ_{i} ·id)^{j}(x)) = 0

Wir definieren r_{i} := Min{j ∈ ℕ | V_{j}^{(i)} = V_{j′}^{(i)} für alle j′ ≥ j}. Dann gilt:

(2) r_{i} ≤ e_{i} und r_{i} = Min{j | V_{j}^{(i)} = V_{j+1}^{(i)}}. Daher:

{0} = V_{0}^{(i)} ⫋ V_{1}^{(i)} ⫋ V_{2}^{(i)} ⫋ ⋯ ⫋ V_{r_{i}}^{(i)}.

(3) E = ⨁_{i=1}^{m} V_{r_{i}}^{(i)}

(4) dim V_{r_{i}}^{(i)} = e_{i}.

(5) r_{i} ist der Exponent von (X − λ_{i}) im Minimalpolynom von φ. Wähle ein i ∈ {1, …, m}. Sei λ := λ_{i}, e := e_{i}, r := r_{i}, V_{j} = V_{j}^{(i)}.

Anmerkung: Sind y_{1}, … y_{t} ∈ V_{j} linear unabhängig modulo V_{j−1} und j > 1. Dann sind (φ − λ · id)(y_{1}), ⋯, (φ − λ · id)(y_{t}) Vektoren von V_{j−1}, die modulo V_{j−2} linear unabhängig sind. Beweis: Da die y_{i} in V_{j} liegen ist (φ − λ · id)^{j−1}((φ − λ · id)(y_{i})) = (φ − λ · id)^{j}(y_{i}) = 0, also liegen die (φ − λ · id)(y_{i}) in V_{j−1} für alle i = 1, …, t. Wären sie linear abhängig modulo V_{j−2}, so gäbe es α_{1}, …, α_{t}, nicht alle = 0 mit ∑_{i=1}^{t} α_{i} · (φ − λ · id)(y_{i}) ∈ V_{j−2}, d.h. mit (φ − λ · id)^{j−2} (∑_{i=1}^{t} α_{i} · (φ − λ · id)(y_{i})) = 0. Dann wäre aber (φ − λ · id)^{j−1} (∑_{i=1}^{t} α_{i} · y_{i}) = (φ − λ · id)^{j−2} (∑_{i=1}^{t} α_{i} · (φ − λ · id)(y_{i})) = 0 und folglich ∑_{i=1}^{t} α_{i} · y_{i} ∈ V_{j−1}, d.h. die y_{1}, …, y_{t} wären modulo V_{j−1} linear abhängig entgegen der Voraussetzung.

q.e.d.

Setze s_{j} := dim(V_{j}/V_{j−1}) = dim V_{j} − dim V_{j−1} für alle j = 1, …, r. Nach (2) und (4) ist dann s_{j} ≥ 1 und dim V_{j} = s_{1} + ⋯ + s_{j} für alle j = 1, …, r.

Konstruiere nun rekursiv eine passende Basis von V_{r}: Wähle Vektoren

x_{1,r}, … x_{s_{r},r} ∈ V_{r} linear unabhängig modulo V_{r−1}.

(Bestimme etwa eine Basis von V_{r−1} und ergänze sie zu einer Basis von V_{r}. Die dazu benötigten s_{r} Vektoren sind solche x_{1,r}, … x_{s_{r},r} ∈ V_{r}.) Definiere dann x_{1,r−1}, … x_{s_{r},r−1} ∈ V_{r−1} durch

x_{l,r−1} := (φ − λ · id)(x_{l,r}) für l = 1, …, s_{r}. Nach der Anmerkung sind dann die x_{1,r−1}, … x_{s_{r},r−1} ∈ V_{r−1} Vektoren von V_{r−1} die modulo V_{r−2} linear unabhängig sind. Also ist s_{r−1} ≥ s_{r} Falls s_{r−1} > s_{r} ergänze diese durch s_{r−1} − s_{r} Vektoren x_{s_{r}+1,r−1}, … x_{s_{r−1},r−1} ∈ V_{r−1} zu einer Vertretern einer Basis von V_{r−1}/V_{r−2}

(Bestimme eine Basis von V_{r−2}, vereinige diese mit den x_{1,r−1}, … x_{s_{r},r−1} ∈ V_{r−1} und ergänze diese linear unabhängige Familie mit s_{r−1} − s_{r} Vektoren zu einer Basis von V_{r−1}. Diese zuletzt hinzugefügten Vektoren sind dann die x_{s_{r}+1,r−1}, … x_{s_{r−1},r−1}.)

Fahre so fort. Allgemein: Seien x_{1,j}, …, x_{s_{j},j} ∈ V_{j} schon bestimmt als Vertreter einer Basis modulo V_{j−1}, so definiere x_{1,j−1}, … x_{s_{j},j−1} ∈ V_{j−1} durch x_{l,j−1} := (φ − λ · id)(x_{l,j}) für l = 1, …, s_{j}. Nach der Anmerkung sind dann die x_{1,j−1}, … x_{s_{j},j−1} ∈ V_{j−1} Vektoren von V_{j−1} die modulo V_{j−2} linear unabhängig sind. Also ist s_{j−1} ≥ s_{j}. Falls s_{j−1} > s_{j} ist, ergänze die durch s_{j−1} − s_{j} Vektoren x_{s_{j}+1,j−1}, … x_{s_{j−1},j−1} ∈ V_{j−1} zu Vertretern einer Basis von V_{j−1}/V_{j−2}.

(Bestimme eine Basis von V_{j−2}, vereinige diese mit den x_{1,j−1}, … x_{s_{j},j−1} ∈ V_{j−1} und ergänze diese linear unabhängige Familie mit s_{j−1} − s_{j} Vektoren zu einer Basis von V_{j−1}. Diese zuletzt hinzugefügten Vektoren sind dann die x_{s_{j}+1,j−1}, … x_{s_{j−1},j−1}.)

(6) Es gilt φ(V_{r}) ⊆ V_{r} und die Matrix der Abbildung φ|V_{r} ⟶ V_{r} bezüglich der Basis x_{1,1}, x_{1,2}, …, x_{1,r}, x_{2,1}, … hat Jordan-Normalform.

Bemerkung: Ist der Eigenraum jedes Eigenwertes von φ eindimensional, so funktioniert auch das folgende ( wesentlich einfachere ) Verfahren: Sei (X − λ_{1})^{e_{1}} ⋯ (X − λ_{m})^{e_{m}} das charakteristische Polynom von φ (in diesem Fall ist dies auch das Minimalpolynom ). Wähle x_{1,λ_{1}}, …, x_{1,λ_{m}} als Eigenvektoren zu den Eigenwerten λ_{1}, …, λ_{m} von φ. Für i = 1, …, m wähle rekursiv Elemente x_{j,λ_{i}}, j = 2, …, e_{i} mit

(A − λ_{i} · I) · x_{j,λ_{i}} = x_{j−1,λ_{i}}.

Die x_{1,λ_{1}}, x_{2,λ_{1}}, … x_{e_{1},λ_{1}}, x_{1,λ_{2}}, …, x_{e_{m},λ_{m}} bilden dann eine Basis von E, bzgl. der die Matrix von φ Jordan-Normalform hat.

Beispiele:

1. Bestimmen Sie für die Matrizen

A_{1} = (\begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}) ∈ M_{3,3}(ℚ) und A_{2} = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & −1 & −1 & 0 \\ −1 & 1 & 2 & −1 \\ −2 & 5 & 2 & 2 \end{matrix}) ∈ M_{4,4}(ℂ)

Matrizen U_{1}, U_{2}, so daß U_{i}^{−1} · A_{i} · U_{i} Jordan-Normalform hat für i = 1, 2.

2. Bestimmen Sie die Jordan-Normalformen der Matrizen:

A = (\begin{matrix}−1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 0 & 3 & 0 \\ −12 & 0 & −3 & 1 \end{matrix}) und B = (\begin{matrix}2 & −4 & 2 & 2 \\ −2 & 0 & 1 & 3 \\ −2 & −2 & 3 & 3 \\ −2 & −6 & 3 & 7 \end{matrix})