Beispiel zur Jordanschen Normalform  13. Juli 1999

Universität des Saarlandes

Fachbereich 9, Mathematik Prof. Dr. R. Berger

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Sei φ ein Endomorphismus des K-Vektorraums E = K_{4} für einen Körper K, welcher bezüglich der Standardbasis 𝔢 durch die Matrix

A := M(φ; 𝔢, 𝔢) = (\begin{matrix}−1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 0 & 3 & 0 \\ −12 & 0 & −3 & 1 \end{matrix})

gegeben ist. Das charakteristische Polynom χ_{φ} ∈ K[X] von φ ist χ_{φ}(λ) = (λ − 1)^{4}. Damit ergeben sich:

• V_{0} = {0}, dim V_{0} = 0, s_{0} = 0

• V_{1} := ker(A − λI) , dim V_{1} = 2 , s_{1} = dim V_{1} − dim V_{0} = 2 [V_{1} = ⟨y_{1}, y_{2}⟩ mit y_{1} = (1, 0, −4, 6)^{T} , y_{2} = (0, 1, 0, 0)^{T} ]

• V_{2} := ker(A − λI)^{2} , dim V_{2} = 3 , s_{2} = dim V_{2} − dim V_{1} = 1 [V_{2} = ⟨y_{1}, y_{2}, y_{3}⟩ mit y_{3} = (0, 0, 2, −3)]

• V_{3} := ker(A − λI)^{3} , dim V_{3} = 4 , s_{3} = dim V_{3} − dim V_{2} = 1 [V_{3} = ⟨y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}⟩ mit y_{4} = (0, 0, 0, 1)]

Damit weiß ich bereits:

• Es gibt zwei Jordankästchen, da die Dimension von V_{1} der Anzahl der Jordankästchen zum Eigenwert λ entspricht.

• Da V_{3} bereits der gesamte Raum E ist, muß die Kette V_{0} ⊂ V_{1} ⊂ ⋯ ⊂ E bereits ab V_{3} stationär werden. Der Grad des Minimalpolynoms ist also r = 3 und damit ist mein größtest Jordankästchen ein 3 × 3-Kästchen.

Aus diesen beiden Punkten weiß ich bereits wie die Jordansche Normalform von A aussieht. Aber ich weiß nichts über die Basiswechselmatrix U. Diese muß ich noch berechnen:

a) Ich suche mir s_{3} = 1 Vektor, der in V_{3} aber nicht in V_{2} liegt. Dies ist etwa x_{1,3} := y_{4}. Damit berechne ich

x_{1,2} := (A − λI)x_{1,3} = (1, 0, 0, 0)^{T} .

x_{1,2} liegt in V_{2}, aber nicht in V_{1}.

b) Ich suche mir s_{2} = 1 Vektor, der in V_{2} aber nicht in V_{1} liegt. Falls ich eben geeignete Vektoren berechnet habe, muß ich sie benutzten. Ich habe x_{1,2} berechnet, also nehme ich ihn. Weiter Vektoren brauche ich wegen s_{2} = 1 nicht. Damit berechne ich

x_{1,1} := (A − λI)x_{1,2} = (−2, 0, 8, 12)^{T} .

x_{1,1} liegt in V_{1}, aber nicht in V_{0}.

c) Ich suche mir s_{1} = 2 linear unabhängige Vektoren, die in V_{1} aber nicht in V_{0} liegen. Falls ich eben geeignete Vektoren berechnet habe, muß ich sie benutzten. Ich habe x_{1,1} berechnet, also nehme ich ihn. Weiter Vektoren habe ich nicht berechnet. Ich brauche aber zwei Vektoren, also suche ich mir noch einen weiteren von x_{1,1} linear unabhängigen Vektor in V_{1}, der nicht in V_{0} liegt, etwa y_{2}. Setze x_{2,1} := y_{2}.

d) Damit bin ich fertig. Mehr als vier linear unabhängige Vektoren kann es nicht geben, außerdem hat V_{0} Dimension Null und kann keine weiteren Vektoren beisteuern.

Die Spalten der Basiswechselmatrix U besteht aus den Vektoren x_{1,1}, x_{1,2}, x_{1,3} und x_{2,1}. Also ist

U = (\begin{matrix}−2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 8 & 0 & 0 & 0 \\ −12 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}) und J = (\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .