Universität des Saarlandes

Fachbereich 9, Mathematik Prof. Dr. R. Berger

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Lösungshinweise zur 12. Übung der Linearen Algebra II, SS 1999

Aufgabe 47:(0 Punkte)

Es gibt eine ONB (e_{1}, ⋯, e_{n}) von E mit M(Φ; (e_{1}, ⋯, e_{n}), (e_{1}, ⋯, e_{n})) = diag(λ_{i}), wobei

λ_{i} = \begin{cases}1 & für i ∈ \{1, ⋯, p\} \\ −1 & für i ∈ \{p + 1, ⋯, r\} \\ 0 & sonst \end{cases}

gilt. Ferner gibt es eine Dualbasis (e_{1}^{∗}, ⋯, e_{n}^{∗}) zu (e_{1}, ⋯, e_{n}). Setze σ_{i} := e_{i}^{∗}. Seien x =

∑_{i=1}^{n} a_{i}e_{i} und y = ∑_{i=1}^{n} b_{i}e_{i} Elemente aus E. Dann gilt

Φ(x, y) = Φ(∑_{i=1}^{n} a_{i}e_{i}, ∑_{i=1}^{n} b_{i}e_{i}) = ∑_{i=1}^{p} a_{i}b_{i} + ∑_{i=p+1}^{r} −a_{i}b_{i} = ∑_{i=1}^{p} σ_{i}(x)σ_{i}(y) − ∑_{i=p+1}^{r} −σ_{i}(x)σ_{i}(y).

Aufgabe 48:(0 Punkte)

Berechne ker(A^{T}) = (\begin{matrix}1 & 2 & 7 & |0 \\ 0 & 1 & 2 & |0 \\ 0 & 0 & 0 & |0 \end{matrix}). Damit ist der Lösungsraum L des transponierten

homogenen Systems L = ⟨(3, 2, −1)^{T} ⟩. Die Orthogonalitätsbedingung führt zu

⟨(3, 2, −1)^{T} , (1, a, 1)^{T} ⟩ = 0 ⟺ a = −1

Also ist das LGS genau dann lösbar, wenn a = −1 gilt.

Aufgabe 49:(0 Punkte)

Setze

e_{1} ≡ \begin{cases}1 mod 7 \\ 0 mod 88 \end{cases} , e_{2} ≡ \begin{cases}1 mod 8 \\ 0 mod 77 \end{cases} und e_{3} ≡ \begin{cases}1 mod 11 \\ 0 mod 56 \end{cases} .

Berechne ggT(88, 7) und führe die ’Rückrechnung’ durch: 1 = 4 − 3 = 4 − (7 − 4) = (88 − 12 · 7) − 7 + (88 − 12 · 7) = 2 · 88 − 25 · 7 ⇒ e_{1} = 176. Analog ergeben sich 1 = 29 · 8 − 3 · 77 ⇒ e_{2} = −231 und e_{3} = 56. Eine Lösung ist also x = −2 · 176 + 2 · (−231) − 2 · 56 = −926. Die allgemeine Lösung ist −926 + ℤ · 616 und die kleinste positive ist 306.

Lösungshinweise zur 12.Übung LA II  Seite 2

Aufgabe 50:(0 Punkte)

a) (1) Das charakteristische Polynom von A ist χ_{A} = (x − 1)^{4}.

(2) V_{1} := ker(A − 1 · I) wird von den beiden Vektoren y_{1} = (1, 0, 1, 0)^{T} und y_{2} = (−2, −1, 0, 1)^{T} erzeugt.

(3) V_{2} := ker(A − 1 · I)^{2} wird von den Vektoren y_{1}, y_{2} und y_{3} = (3, 1, 0, 0)^{T} erzeugt.

(4) V_{3} := ker(A − 1 · I)^{3} = ℚ^{4}. Damit gilt r = 3, s_{3} = 1, s_{2} = 1 und s_{1} = 2.

(5) Wähle nun vier linear unabhängige Vektoren, etwa y_{1}, y_{2}, y_{3} und y_{4} = (1, 0, 0, 0)^{T}. Setze x_{1,3} := y_{4}. Berechne x_{1,2} = (A − I)x_{1,3} ⇝ x_{1,2} = (0, 1, −1, −2)^{T} und x_{1,1} = (A − I)x_{1,2} ⇒ x_{1,1} = (0, −1, 2, 1)^{T}.

Setze x_{2,1} := y_{1}. Dann ist

U = (\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 1 \\ −1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & −1 & 0 & 1 \\ 1 & −2 & 0 & 0 \end{matrix} ) und J = (\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .

b) (1) Das charakteristische Polynom von B ist χ_{B} = (x−4)^{2}(x−2)^{2} ⇒ λ_{1} = 2, λ_{2} = 4

(2) Berechne ER(2) = V_{1}^{(1)} = ker(B − 2I) ⇒ dim V_{1}^{(1)} = 2. Also ist r_{1} = 1 und ich bekomme zwei Jordankästchen zum Eigenwert λ_{1} = 2.

(3) Berechne ER(4) = V_{1}^{(2)} = ker(B − 4I) ⇒ dim V_{1}^{(2)} = 1. Also bekomme ich nur ein Jordankästchen zum Eigenwert λ_{2} = 4.

Die JNF ist somit

(\begin{matrix}2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{matrix})

Frage: Was wäre bei χ_{A} = (x − λ)^{5} zu tun? dim(ker(A − λI)) liefert mir nur die Anzahl der Jordankästchen. Angenommen, es gäbe zwei. Wie erhalte ich die Größe der Kästchen? Es gibt schließlich mehrere Möglichkeiten!

Hinweis: Was liefert mir dim(ker(A − λI)^{2} …)?

c) Seien C und D Matrizen, deren Polynome in Linearfaktoren zerfallen. Dann gilt: C und D sind genau dann ähnlich, wenn sie die gleiche JNF haben (Beweis!). Also ist die Anzahl der Aquivalenzklassen in M_{7,7}(ℚ) mit charakteristischem Polynom (x − 1)^{4}(x−2)^{3} gleich der Anzahl der verschiedenen 7×7-Matrizen mit charakteristischem Polynom (x − 1)^{4}(x − 2)^{3} in JNF. Hierbei zählen Permutationen der Jordanblöcke nicht.

Zum Eigenwert λ_{1} = 1 gibt es fünf Möglichkeiten A_{i} ∈ M_{4,4}(ℚ) (Welche?) mit Minimalpolynomen μ_{1} = (x − 1), μ_{2} = (x − 1)^{2}, ⋯, μ_{4} = (x − 1)^{4} (Welches Minimalpolynom gehört zu welcher Matrix?).

Zum Eigenwert λ_{2} = 2 gibt es drei Möglichkeiten B_{j} ∈ M_{3,3}(ℚ) (Welche? Und wie sehen die Minimalpolynome aus?)

Insgesamt gibt es also 3 · 5 = 15 Äquivalenzklassen mit jeweiliger JNF diag(A_{i}, B_{j}).