"Lösung" der Maple-Aufgabe auf Blatt 2, Lin. Alg. II

> with(linalg):
Warning, new definition for norm
Warning, new definition for trace
> A:=array(1..3,1..3,[[1/4*sqrt(3)+1/2,1/4*sqrt(3)-1/2,-1/4*sqrt(2)],[1/4*sqrt(3)-1/2,1/4*sqrt(3)+1/2,-1/4*sqrt(2)],[1/4*sqrt(2),1/4*sqrt(2),1/2*sqrt(3)]]);

             [     1/2               1/2                 1/2]
             [1/4 3    + 1/2    1/4 3    - 1/2    - 1/4 2   ]
             [                                              ]
        A := [     1/2               1/2                 1/2]
             [1/4 3    - 1/2    1/4 3    + 1/2    - 1/4 2   ]
             [                                              ]
             [        1/2               1/2             1/2 ]
             [   1/4 2             1/4 2           1/2 3    ]

# Wir multiplizieren A mit der Transponierten Matrix, vereinfachen 
> map(simplify,evalm(A&*transpose(A)));

                            [1    0    0]
                            [           ]
                            [0    1    0]
                            [           ]
                            [0    0    1]

          -1   T
# d.h.   A  = A  , d.h. A ist eine Drehung. Die Determinante
> det(A);
                                  1

# zeigt, dass A eine eigentliche Drehung ist. 
# b) nach Vorlesung errechnet sich der Drehvektor u aus der Matrix
> map(simplify,evalm((1/2)*(A-transpose(A))));

                 [                               1/2]
                 [   0           0        - 1/4 2   ]
                 [                                  ]
                 [                               1/2]
                 [   0           0        - 1/4 2   ]
                 [                                  ]
                 [     1/2         1/2              ]
                 [1/4 2       1/4 2           0     ]

> # wie folgt: 
> u:=array(1..3,[(1/4)*sqrt(2),-(1/4)*sqrt(2),0]);

                         [     1/2         1/2   ]
                    u := [1/4 2   , - 1/4 2   , 0]

> # dementsprechend ist die Drehachse RR*u,
> # der Sinus des Drehwinkels: 
> norm(u,2);

                                 1/2

> # der Cosinus des Drehwinkels:
> (1/2)*(trace(A)-1);

                                    1/2
                               1/2 3

> # und also der orientierte Drehwinkel +pi/6.  
> # c)
> # man muss lediglich ein normiertes Element aus ER(1) zu ONB erweitern: 
> v1:=evalm((1/norm(u,2))*u);

                         [     1/2         1/2   ]
                   v1 := [1/2 2   , - 1/2 2   , 0]

> # wir ergaenzen v1 zu Basis von RR^3: 
> v2:=array(1..3,[(1,0,0)]);

                           v2 := [1, 0, 0]

> v3:=array(1..3,[(0,0,1)]);

                           v3 := [0, 0, 1]

> # und orthogonalisieren:
> GramSchmidt([v1,v2,v3]);

               1/2         1/2
        [[1/2 2   , - 1/2 2   , 0], [1/2, 1/2, 0], [0, 0, 1]]

> # unsere ONB ist dementsprechend
> u1:=evalm(v1);

                         [     1/2         1/2   ]
                   u1 := [1/2 2   , - 1/2 2   , 0]

> u2:=evalm((1/norm(vector([1,1,0]),2)*vector([1,1,0])));

                          [     1/2       1/2   ]
                    u2 := [1/2 2   , 1/2 2   , 0]

> u3:=evalm(v3);

                           u3 := [0, 0, 1]

# Die "Probe":
> C:=transpose(stack(u1,u2,u3));

                       [      1/2          1/2     ]
                       [ 1/2 2        1/2 2       0]
                       [                           ]
                  C := [       1/2         1/2     ]
                       [- 1/2 2       1/2 2       0]
                       [                           ]
                       [    0            0        1]

> map(simplify,evalm(transpose(C)&*A&*C));

                     [1       0           0    ]
                     [                         ]
                     [          1/2            ]
                     [0    1/2 3         -1/2  ]
                     [                         ]
                     [                      1/2]
                     [0      1/2       1/2 3   ]

>