Universität des Saarlandes

Fachbereich 9, Mathematik Prof. Dr. R. Berger

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1. Klausur zur Linearen Algebra I, WS 1998/99

\underline{Aufgabe 1} (12 Punkte) Gegeben sei die Permutation σ = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & 5 & 3 & 2 \end{matrix}) ∈ �_{5}.

a) Bestimme alle Inversionen von σ, sowie die Inversionszahl I(σ), die Ordnung ord(σ) und das Vorzeichen (Signum) ε_{σ}.

b) Bestimme die Inversen der beiden Elemente σ und σ^{2}.

c) Schreibe σ als Produkt von Transpositionen.

d) Hat �_{5} eine siebenundzwanzigelementige Untergruppe?

\underline{Aufgabe 2} (9 Punkte)

a) Bestimme alle Lösungen der folgenden Gleichungen in dem jeweils angegebenen Ring: (i) ¯4x + ¯3 = ¯5 in ℤ/6ℤ. (ii) ¯3x + ¯6 = ¯4 in ℤ/7ℤ. (iii) ¯2x − ¯6 = ¯3 in ℤ/8ℤ.

b) Gib jeweils alle Nullteiler der drei in a) genannten Ringe an!

\underline{Aufgabe 3} (12 Punkte) Es sei n ∈ ℕ und R der Ring ℤ/nℤ. Man zeige:

a) Für a ∈ ℤ ist \overline{a} genau dann in R invertierbar, wenn a und n teilerfremd sind. Hinweis: Für geeignete x, y ∈ ℤ gilt ggT(a, n) = xa + yn, was nicht gezeigt werden muß!

b) ℤ/nℤ ist genau dann ein Körper, wenn n eine Primzahl ist.

c) Für a ∈ ℤ ist \overline{a} genau dann ein Nullteiler in R, wenn a und n nicht teilerfremd sind.

\underline{Aufgabe 4} (7 Punkte) Gib je ein Beispiel für

a) eine nichtkommutative Gruppe.

b) eine kommutative Gruppe.

c) einen nichtkommutativen Ring.

d) einen kommutativen Ring, der nicht unitär ist.

e) einen kommutativen Ring, der nicht nullteilerfrei ist.

f) einen nichtkommutativen Körper.

g) einen Vektorraum. Hinweis: Vergiß nicht die Angabe der Verknüpfungen! Für einen kommutativen Körper genügt beispielsweise (ℝ, +, ·). Beweise sind nicht nötig.

\underline{Aufgabe 5} (9 Punkte) Auf der Menge ℝ der reellen Zahlen seien eine Addition ⊞ und eine Skalarmultiplikation ⊡ mit rationalen Zahlen definiert durch

a ⊞ b := \sqrt[3]{a^{3} + b^{3}} für a, b ∈ ℝ
r ⊡ a := \sqrt[3]{r} · a für r ∈ ℚ, a ∈ ℝ.

a) Zeige, daß ℝ mit diesen Operationen ein ℚ-Vektorraum ist.

b) Ist ℚ ⊂ ℝ ein Unterraum dieses ℚ-Vektorraumes ?

\underline{Aufgabe 6} (15 Punkte)

Betrachte die Abbildung f : ℝ^{2} → ℝ^{2} : ( \begin{matrix}x \\ y \end{matrix} )↦( \begin{matrix}−3x+3y \\ −2x+2y \end{matrix} )

a) Ist f ein Vektorraumhomomorphismus? Wenn ja, so gib die f entsprechende Matrix in den Standardbasen an.

b) Gib Im f und ker f an!

c) Was ist das Urbild von (3b, 2b) für b ∈ ℝ?

d) Skizziere Im f, ker f und f^{−1}(3b, 2b).

e) Gib einen Isomorphismus Im f → ℝ an und zeige ℝ^{2}/ker f ist isomorph zu ℝ.

\underline{Aufgabe 7} (6 Punkte) Betrachte die Funktion

d : ℝ^{2} × ℝ^{2} → ℝ : ((v_{1}, v_{2}), (w_{1}, w_{2})) ↦v_{1}w_{2} − v_{2}w_{1}. Welcher Zusammenhang besteht zwischen der linearen Abhängigkeit oder Unabhängigkeit der Zeilenvektoren v = (v_{1}, v_{2}) und w = (w_{1}, w_{2}) des ℝ-Vektorraums ℝ^{2} und dem Funktionswert d(v, w)? \underline{Aufgabe 8} (20 Punkte) Für eine Gruppe (G, ·) ist die Automorphismengruppe (Aut G, ∘) durch

Aut G := {φ : G → G| φ ist Isomorphismus} definiert.

a) Zeige, daß die Hintereinanderausführung zweier Automorphismen ein Automorphismus ist.

b) Zeige, daß AutG mit der Komposition “∘” als Gruppenverknüpfung tatsächlich eine Gruppe ist.

c) Zeige, daß φ_{g} : G → G : a↦gag^{−1} für alle g ∈ G ein Automorphismus ist.

d) Zeige, daß es einen natürlichen Homomorphismus φ_{G} : G → Aut G : g↦φ_{g} gibt. Warum wäre es schlecht gewesen, hätte man φ_{g} durch φ_{g}(a) := g^{−1}ag definiert?

e) Zeige, daß ker φ_{G} = {g ∈ G| ag = ga ∀ a ∈ G} gilt. Offensichtlich ist dies eine Untergruppe von G. Sie heißt Zentrum Z(G) von G.

f) Über welche wichtige Eigenschaft verfügt G im Falle G = ker φ_{G}?

g) Berechne jeweils das Zentrum von �_{3} und (ℤ/197ℤ, +).

Beachte: Falls nicht anders angegeben, mußt Du alle Deine Aussagen beweisen!